О ПРОИЗВОДНЫХЪ ФУНКЦШХЪ ВЫСШИХЪ ПОРЯДКОВЪ. 329 



Первое изъ этихъ равенствъ, къ котором} 7 прпсосдинпмъ 17^ = — ф"(Д), 

 получающееся изъ него же при условш Т1° = 1 , легко доставляетъ 



^ = 1.3 .. .(2к— 1)[— ф" (*)]*. 



Посл-б этого второе равенство 15) принимаетъ видъ 



Ц\^ [- Ф" (*)Г*" а _ у%1\ [- Ф" (*Г М , ьз . . , 2 ,-з) ,■„,, . 



(2к — 2)(2к — 4). ..2 (2й — 4) (2й — 6). . .2 2 2.4. . .(2Й— 4) т \ г > 



и доставить, когда положили. & = 3, 4, . . ., сложпмъ результаты и замъ- 

 тимъ, что по 15) ?7, 2 = В 47^ = — ф'"(«), 



и 



^_ х = - 2 . 4 . . . (2к- 2) [- ф»]*-у» [|*1 2 а:!:: :["=% ] 



й = 3 



= _ (А _1).. 5 . 7, . .(2*- 1)[- ф»]*- 2 ф>)- 



Не продолжая этихъ вычпсленш, мы замътимъ только, что система 15) 

 даетъ возможность найти последовательно вст> коэффицшнты Л. Отсюда 

 сл'Ьдуетъ, что действительно коэФФищентъ %" п _ к можетъ быть представ - 

 ленъ Формулой 14). 



Возвращаясь къ общей Форму .гЬ 12), которую напишемъ въ виде 



В 2 п -) = 2 н Л'{*)—й*-\ 



г и — к п — К т \ / п — & 



и вспоминая выражеше, которое было найдено для второй части ея, мы 

 получимъ черезъ замъну п, к на п -+- 1, к -+- 1: 



74 гуп /п + /.' N ттк+\ (// \—п—к—1 /п + к-1\ тг к+1 ,г, ■. — и — к 



^^ п _, = (о, + 1 )^. +1 Ф(^ 1-.( 2 , )Я к Ф(*) и-.-. 



съ другой стороны, на основанш Формулы 14), будемъ шить 



;,)^Г 1 +'«-"-'. 



Сравнивая между собою выражешя ^' (з) п В г 2^_ к и 4 ,/ (' г )"^ п _;ь_ 1 ) 

 не трудно заметить, что они будутъ состоять изъ одинаковаго числа (Л -н1) 

 членовъ, изъ которыхъ каждый состоитъ изъ двухъ множителей: одинъ 

 изъ этихъ множителей есть Функщя г, независящая отъ и и одинаковая 



Фпз.-Мат. стр. 309« 9 



