О ПРОИЗВОДНЫХЪ ФУНКЦШХЪ ВЫСПШХЪ ПОРЯДКОВЪ. 331 



Общее правило. 



Чтобы найти коэффицгентъ Ъ _%_,, нужно взять производную 

 В 2 ,, представить входящге въ нее цплые относительно п полиномы 

 суммами членовъ вида А г 1 ~*~Р \ и увеличить на единицу воь указатели а; 



полученное такимъ образомъ выраженге представитъ 7, _,._, , если оно 

 исчезаешь при п = к -+- 1 . 



На основанш этого правила находимъ, исходя отъ значетя перваго 

 коэФФнщента 2 п п = ф'(,г) ~ " : 



г п п _ 3 =-г. 5 ( П ; 2 )Ф>Г Й - 3 Г№- 10 ('7 1 ) ф>г*- 2 ф'>) *"<') - 



г'1_= з.5.7 ( и ; 3 ) ф'(„- й - 4 ф"^-з .5.7 (^ 2 )Ф^г"-у(*)Т'(*)^ 

 н- 5 ( п ; х ) ф'(.)- и - 2 рф>/ - зф"(.) ф 1У и] - (;) ф'(*г*"У(*), 



и т. д. 



КоэФФИщенты^" п _ А однородны относительно производныхъ ф'(я), ф"(#)> 

 и т. д. двоякпмъ образомъ, именно измврете этихъ коэФФищентовъ бу- 

 детъ- — п, когда упомянутыя нропзводныя будешь считать величинами пер- 

 ваго измЬреия, и измврете коэффициента 2 п п _ к будетъ — п-+-к, если 

 подъ ф (т) (,г) будемъ понимать величину м-аго измерения. Это сл-Ьдуетъ 

 прямо изъ способа образования коэФФпщентовъ % п п _ к при посредстве 

 вышевыведеннаго правила и можетъ быть подтверждено следующими со- 

 ображешями. Положпмъ, что мы составили выраженге Ъ п Ху у при посредстве 

 производныхъ 1) к г х у и ф/* 1 (г г ), где ж 1 =:ф 1 (гг 1 ); отсюда получится выраже- 

 ше Л™ у при посредствЬ производныхъ В к у и ф <А) (я), где ж = ф(,г), чрезъ 

 нростую перемену буквъ. Но если иримемъ 



х г = ах -+- Ъ, г г = рг -+- д, аф(г) -«- Ъ = ф х (ря -+- д), 



где а, Ь, р, <2 произвольныя постоянныя, то будемъ иметь 



I/ »=а- ^ #, В\у=р- Ь в] у, ф» (,,) = а*"* ф<*> (,) 



Фнз.-Мат. стр. 811. ц 



