57 



dargestellt. Es bedeuten a, a^ die Radien, n, n^ die 

 Winkelgeschwindigkeiten, s, s^ die Epochen der beiden 

 Bewegungen. Für die resultirende Bewegung gelten die 

 Gleichungen : 



f X = a COS (n t — s) -]- ai cos (n^ t — s^) 

 ^ ^ \ y == a sin (n t — s) -j- ^i sin (n^ t — z^). 

 Führt man auch hier die Polarcoordinaten r und o 

 durch die oben schon benutzte Substitution ein, so er- 

 hält man als Differentialgleichungen 1. Ordnung der Re- 

 sultante von zwei gleichförmigen Kreisbewegungen in 

 Polarcoordinaten die Gleichungen: 



V 

 ivy^ = i (oc2 - ai^) (n - nO + i (n -J- n^ r^ 

 |r2r'2 = (i(n~n0)'(— r^ + 2(a2 + ai2)r2— (a2— ai2)2) 



Die Gleichungen IV und V stimmen vollständig über- 

 ein, wenn zwischen den beiderseitigen Constanten die 

 Beziehungen angenommen werden: 



^'""^ V = Hn - nO. h -f ko) - (a.2 + a^^) (i (n - n^)' 



welch letztere: 



(10) h = i (n — Ui) (oc^n — ai^ni) 

 giebt. Im umgekehrten Sinne aufgelöst, geben diese 

 Gleichungen zuerst: 



n = [7. — 0) n^^ = — [f. — o) 

 a^ — oL-i^ = — (x^ + ai^ = ^i — 



(11) 



und ferner: 



(11) 2a^ = ^_±^^ + \ 2«,^ = iL± ^''^-^l'- 



Die Bedingungen (8) lassen hieraus stets reelle 

 Werthe von a und a^ hervorgehen und sind umgekehrt 

 für die in (10) bestimmten Constanten h und k immer 

 erfüllt. 



Die Mannigfaltigkeit aller relativen har- 

 monischen Gentralbewegungen deckt sich 

 also vollständig mit der Mannigfaltigkeit 

 der Resultanten von zwei gleichförmigen 

 Kreisbewegungen. 



Die Bahncurven der letzteren Bewegungen sind be- 

 kanntUch Epitrochoiden und Hypotrochoiden; 



