que ésta sea proyección de aquélla desde un espacio E,-, exterior al 
plano de la f, es preciso y basta que la serie 2”, que sobre f cortan las 
rectas de su plano, esté contenida en la serie 27 “de la cual es transftor- 
mada la serie que sobre Cr cortan los hiperplanos Ey, de su espacio 
ambiente. 
Lo dicho para las curvas f y Cr vale para las Cf y C%" que estén 
en correspondencia birracional entre sí, sin más diferencia que en vez de 
la serie g* considerada sobre f, se considera sobre Cr la serie que so- 
bre ésta cortan los hiperplanos de su espacio ambiente E,. 
Veamos algunos ejemplos. Sobre la cúbica plana con un punto doble, 
las rectas de su plano cortan una serie 93, que no es completa por estar 
contenida en la g3 engendrada por las cónicas que pasan por el punto 
doble y otro cualquiera de la cúbica. Dada, pues, una cúbica plana con 
un punto doble A, se la puede obtener como proyección de una cúbica 
alabeada, y esto de infinitos modos. Basta, al efecto, considerar la serie 
de cónicas que pasan por A y otro punto B de la cúbica. Como la 
ecuación de tales cónicas tiene tres parámetros independientes, se pue- 
den tomar cuatro de ellas linealmente independientes e igualarlas a otros 
tantos valores y, Yo, Ya, Y4, que tomaremos como coordenadas homogéneas 
de un punto del espacio. El sistema asi formado representa una de las cú- 
bicas buscadas. Al variar B, varía la cúbica alabeada en cuestión; mas to- 
das ellas tienen la particularidad de que, proyectadas cada una desde un 
punto Q, dan la misma cúbica plana. Por tanto, A y cada punto Q está 
sobre una recta que es cuerda de la cúbica alabeada correspondiente. 
Sobre la cuártica plana con tres puntos dobles, las rectas de su plano 
cortan una serie g% que no es completa, porque está contenida en la g* 
dada por las cúbicas que pasan por los tres puntos dobles y otros dos 
cualesquiera de la cuártica. Dicha cuártica es, pues, proyección de al- 
guna cuártica del espacio E, desde una recta extericr al plano de la f. 
Para obtenerla se procede en forma análoga a la del caso anterior. Ei : 
hecho de ser preciso fijar dos puntos A, y A, en la cuártica plana, ade- 
más de sus tres dobles, para que las cúbicas se compongan de una cónica 
determinada por tales cinco puntos y una recta arbitraria del plano, nos 
indica que el espacio desde donde ha de proyectarse la cuártica de Es, 
transtormada de la cuártica plana f, es una recta que se cruza con el 
plano de /. Se sabe también inmediatamente que la recta desde donde se 
hace la proyección es tal que con cada uno de los puntos dobles da un 
plano que se apoya en la cuártica del espacio E, en dos puntos. 
Sin necesidad de extendernos en más ejemplos ni en sacar resultados 
concretos de cada uno, notaremos que el problema indicado acerca de la 
