o 
cual seguirá siendo completa; resultado imposible, porque implica el paso 
de una serie 97D completa a otra g7 también completa y que la con- 
tiene, aumentando más el orden que la dimensión; siendo así que sabemos 
por definición de serie completa (27) que tiende a aumentar igual o más 
la dimensión que el orden. 
32. Volviendo a la serie invariante |A;— 2A], vamos a calcular su 
orden. 
Si designamos por .x el orden de la serie |A;| y por n el de la |A], y 
por 29 — 2 el de la serie |A; — 2A], tendremos 
x—2n=2p-— 2. [1] 
- El orden de la serie |A;y|, es decir, el número de puntos de un grupo 
jacobiano de la serie |A], o sea el número de puntos dobles de una E 
es sencillamente el número de tangentes a una curva plana transformada 
birracionalmente de la f (en la que la g] se transforme en un haz de rec- 
tas) desde un punto exterior, vértice del haz de rectas que define la gi, 
número que viene dado por los puntos de intersección de una curva plana 
con su primera polar (adjunta de orden n— 1, si n es el orden de la 
transformada de f), y que es la: clase de la curva. Como la clase de una 
curva (10) es 
m=mnm(n -—1) — Xi(í — 1), 
resulta 
EA Mata 0) al) Sd MN i—1) 
p= 31 a 2 Y 2 n+1= 2 Y 5) 112] 
de donde 
A [3] 
que nos da el orden de la serie |A; — 2A], el cual puede también hallarse 
por las consideraciones siguientes: la serie |A;| viene destacada sobre fn 
por el sistema de todas sus adjuntas de orden n — 1; serie que evidente- 
mente es completa. Si, pues, fijamos una recta y existiesen aún adjuntas, 
que serán de orden n — 2, tendremos una serie completa, definida por 
adjuntas pn—2, contenida en la definida por las adjuntas pn—1 de orden 
n —1. Si, fijada de nuevo otra recta, existiesen todavía adjuntas (de 
orden n — 3, por consiguiente) tendremos que el sistema de estas pn-—3 
dará una serie completa que será precisamente la serie invariante 
|A; —2A]. Llamando, pues, canónica a esta serie, resulta que las ad- 
Juntas qn—s de orden n — 3 (si existen) de una curva t, de orden n 
dan sobre ella la serie canónica. 
