A 
por los puntos dobles de fm. Restando miembro a miembro tendremos 
A min Sl LE LC 
2 2 2 
m'(m — 3) i—1) _ (m—iim-2 ¿UD 
7 TO Aa 2 A 2 FUE A 
luego 
SUS 
coaud: 
Segundo, 
mom 
En tal caso resulta 
= mm' — Xi(i — 1), 
r3 pr sb po Bi | Ur — a m3) ai 1) 
en virtud de lo dicho en el $ XIV. Restando miembro a miembro resulta 
MA A 
SS 
=p 
codd: 
COROLARIOS.—1.* Si p = 0, en toda serie completa se verifica r = n, 
y, por consiguiente, la curva es transformable birracionalmente en una 
recta, y en virtud del corolario 3.” del teorema anterior, la condi- 
ción necesaria y suficiente para que una curva sea racional (o lo 
que es lo mismo, para que en una serie completa E r sea igual que 7) 
esp =0. 
2.2 Sip=1, resulta r =n— 1, y la serie completa de orden n 
será E considerando su curva hiperespacial normal correspondien- 
te (29) a , y fijando uno a uno sucesivamente n — 3 puntos genéricos, 
tendremos una sucesión de curvas transformadas birracionalmente de la 
dada hasta llegar a la cúbica plana, correspondiente a la serie g?, sin 
puntos dobles, lo cual nos dice que el estudio de las curvas de género 
uno se reduce al de la cúbica plana general, como el de las de género 
cero se reduce al de la recta, y podemos enunciar que la condición ne- 
cesaría y suficiente para que una curva sea referible a la cúbica 
plana general (o que en una serie g” r sea igual a n —1)esquep=1, 
Estas curvas se llaman elípticas. 
