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Si p = 2, se observa que pueden existir series completas en las que 
r > n-— p; v. gr.: en una cuártica plana con un punto doble, el haz de 
rectas cuyo vértice sea este punto, determina una g] completa. Este solo 
hecho demuestra la imposibilidad de continuar el razonamiento hecho en 
los casos p=0 y p=1 con un resultado final tan halagiieño. 
En las curvas racionales la serie jacobiana es de orden 2n — 2, nú- 
mero del cual no puede restarse 27 (doble del orden de la serie dada), y, 
por consiguiente, no existe la serie conónica. En cambio, puede hacerse 
la sustracción en orden inverso 
2n — 2(n —1)=2, 
de la cual resulta la serie q? llamada anticanónica, existente en toda 
curva racional. 
En las curvas elípticas la serie jacobiana contiene exactamente el 
doble de la serie dada, y, por consiguiente, la serie canónica se reduce 
a una constante. 
Si p > 2, la serie canónica existe siempre. 
Analice el lector el caso en que para p=3 sea tal la serie canóni- 
ca g? que sea la suma de dos g;, y verá que esto sucede en la curva plana 
de quinto orden con un punto triplo. El hecho de no poder extender los 
razonamientos hechos para los géneros cero y uno, a fin de obtener la 
dimensión de una serie completa, dados su orden y el género de la curva, 
justifica la necesidad de nuevos recursos para llegar al resultado final. 
Esto es lo que veremos en el párrafo siguiente. 
$ XX.—Series especiales y teorema de Riemann-Roch 
33. Se llaman series especiales en una curva fn las contenidas en 
la serie canónica; es decir, las que pueden determinarse mediante un sis- 
tema de adjuntas de orden n — 3 ó menor. Las demás se llaman no es- 
peciales. Dada una serie gr, se dice orden de su especialidad el número 
de curvas adjuntas ¿n= linealmente independientes que pasan por un 
grupo genérico Ga de dicha serie. 
TEOREMA DE REDUCCIÓN. — Sí gr es completa y especial, y P es 
un punto genérico (no situado en todas las adjuntas qn—s que pasan por 
un grupo Gx arbitrario de gr) de tn, la serie completa [Gh + Pl, de- 
