lA 
terminada por un grupo Gh+1, formado por un grupo genérico de ES 
más el punto P, tiene fijo dicho punto P (1). : 
Dada la importancia de este teorema, debido a Nóter, vamos a de- 
mostrarlo razonando primeramente sobre un caso concreto. 
Sea f de quinto orden con un solo punto doble D; la serie 2? determi- 
nada por las cónicas que pasan por D y otro punto A arbitrario de f, es 
completa y especial, ya que las cónicas que pasan por D son adjuntas 
de f; (31, teor. 2.*), y entre ellas, que son adjuntas de orden n — 3, es- 
tán las que pasan por D y por A; o sea, ya que la serie g? dicha está 
contenida en la 91 definida por las cónicas que pasan por D. 
Sea P un punto genérico de f;, y M;,, Mo, Mz, Ma, ... My, un grupo 
arbitrario de los que determinan la serie dada. P no está en todas las 
cónicas que pasan por D y A. Ahora bien: una recta genérica trazada 
por P corta a f, en otros cuatro puntos Q,, Q», Qz, Qu, por los cuales 
(además de D) los M,, Mo», ... My y A pasa una cúbica (ya que por M,, 
Mo», ... Mz y A, además del D, pasa una cónica, y Q,, Q», Qs, Q4, están 
en línea recta), que es una adjunta p5—2 que por tener cuatro puntos so- 
bre la recta QQ, la contiene totalmente, y, por consiguiente, pasa tam- 
bién por P. Por tanto, el sistema de cúbicas adjuntas que pasa por el grupo 
constituído por los puntos Q y el A da una serie g3 que además de ser 
completa contiene el grupo G, de las M y el punto P; luego el punto P 
es fijo en la serie completa [M,, Ma, ... My, Pl, e. d. d. 
En otros términos: siendo ae completa y especial, M,, Ma, ... M;, 
un grupo genérico de ella y P también genérico sobre fs, la serie 
completa |M,, My, ... M7, P| tiene la misma dimensión que la g? 
dada. 
Si la serie completa especial fuese 97, determinada por el grupo M 
residuo del grupo A respecto de la serie canónica, tracemos por el punto 
P, genérico de f,, una recta genérica que corta a f, en otros n — 1 pun- 
tos Q en línea recta. Por los puntos de los dos grupos A y M pasa una 
adjunta p1—3 (por hipótesis), y, por consiguiente, por el grupo formado 
por los puntos de los tres grupos A, M y Q pasa una adjunta qn—», la 
cual, por tener n — 1 puntos Q sobre una recta, la contiene totalmente, 
(1) Para evitar falsas interpretaciones del teorema téngase presente que 
una serie completa 2% viene determinada por uno cualquiera de sus grupos G4, 
o sea |[Gz| = 2. Si al grupo Gz añadimos un punto P genérico de fn, es claro 
que resulta definida una nueva serie completa de orden 431 cuyo grupo ge- 
nérico es G¿+P, el cual es claro que puede sustituirse por otro grupo equi- 
valente en el que entre o no P. El ser especial la serie es lo que da lugar a 
que P esté en todos los grupos, según indica el teorema. 
