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do, pues, de las propiedades formales de la igualdad (1), se pueden defi- 
nir las operaciones suma, multiplicación, etc., entre grupos equivalen- 
tes. La equivalencia de dos grupos A y B la designaremos mediante el 
símbolo 
A 
Una serie lineal gr se llama completa, cuando no está contenida en 
otra del mismo orden y mayor dimensión ge (h es entero y positivo). 
Las series no completas se llaman parciales. Como r < n, es evidente 
la existencia de la serie completa 97 de orden n sobre una curva dada 
fx, y) =0; 
r es el número de puntos de un grupo genérico de 9! que se pueden ele- 
gir arbitrariamente (o sea, ofrecen condiciones independientes al siste- 
ma [1]) sobre la curva f. 
Dada una serie gs, la serie g: completa que la contiene es úni- 
ca. Si existiese otra g, por ejemplo, las series 97 y g/, teniendo comu- 
nes todos los grupos de la 95, estarían contenidas en otra serie más am- 
plia, y, por consiguiente, la 27 no sería completa, contra la hipótesis. 
COROLARIO.—Un grupo A de n puntos individualiza la serie com- 
pleta g' a que pertenece. Podemos, pues, llamar serie lineal completa 
individualizada por un grupo A a la totalidad de grupos sobre t equi- 
valentes al A. 
Siendo una serie gs no completa, y designándola con la letra a, si A 
es uno cualquiera de sus grupos, con los símbolos |gs|, lal, [A], se de- 
signa indistintamente la serie g$ hecha completa, o, lo que es lo mismo, 
la serie completa que un grupo A individualiza. 
$ XVI.—Suma y diferencia de series lineales 
28. Las propiedades demostradas en el párrafo anterior para los 
grupos equivalentes permiten definir las operaciones aritméticas con 
ellos; y como un grupo individualiza sobre f la serie completa a que per- 
tenece, lo que se diga de las operaciones con grupos, vale para las series 
completas que individualizan. 
Fijando al arbitrio mm puntos entre los de un grupo de una serie 27 
(1) Fernández Baños, Conferencias sobre la Matemática elemental, pá- 
gina 18. Lara, Valladolid, 1918. 
Rev. ACAD. DE CIENCIASs.—XIX.—Julio-agosto-septiembre 1920. 3 
