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EjemPLO.—La g, que un haz de rectas de vértice O sobre la cúbica plana 
general define sobre ella, queda definido también por un haz de cónicas en la 
forma siguiente: si A,Az, B¡Bs, C¡Cz. son los pares de la g) que el haz de 
rectas define, las cónicas que tienen fijos A,, Az, B,: Ba, definen la misma se- 
rie, pues toda cónica que pasa por un punto C,, pasa también por Cs. En 
efecto; mediante una simple transformación, tendremos 
y? =iM4* NX + p, 
como ecuación de la cúbica, y 
PIC ONSE, 
como ecuación del haz de rectas. 
La simetría de la figura, respecto del eje vr (eje también de las cónicas) 
demuestra el enunciado. 
En el estudio de la g sobre la recta vimos que dos cualesquiera de 
los grupos de nivel son arbitrarios, y que la función racional correspon- 
diente quedaba definida en menos de una constante, la cual venía determi- 
nada, dado un nuevo punto cualquiera de la recta. Ahora se pregunta: 
¿son también arbitrarios todos los puntos de dos grupos (en particular el 
de ceros y polos) de una oe sobre una curva 
a 
Fl, y) = 07 
Es claro que si la curva f es racional, esto es, se puede referir bi- 
rracionalmente a una recta (1), la respuesta es afirmativa. 
() Según esta definición de curva racional, resulta que a cada punto so- 
bre la recta se puede hacer corresponder racionalmente uno sobre la curva, 
-y, por consiguiente, llamando h un parámetro variable sobre la recta, un punto 
x, y sobre la curva podrá expresarse paramétricamente 
y =fAN) 
donde f, y f. son funciones racionales. Recíprocamente, la curva expresable 
en la forma [8], siendo A un parámetro sobre la recta, es racional. En efecto; 
la expresión [8] define una serie algébrica que satisface al teorema de Liiroth 
y, por consiguiente, a cada grupo de valores 1 correspondiente a un punto 
(x, y) de la curva corresponde racionalmente un valor de un nuevo paráme- 
tro £sobre una recta, y recíprocamente. Las curvas expresables en la for- 
ma [8] suelen llamarse unicursales. Coincide, pues, el concepto de curva ra- 
cional con el de unicursal, siempre que Á sea un parámetro sobre una recta. 
Considérese, por ejemplo, una cúbica plana con un punto doble A, la serie Za 
racional que cortan sobre una recta las cónicas que pasen por A y otros tres 
puntos genéricos de la cúbica; y la proyección de la curva sobre la recta dada 
(o sobre otra) desde el punto doble A. 
