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dos pares de dichas curvas de órdenes m y m/', respectivamente. Los 
haces 
ola, y) — fedx, y) =0, [5] 
bil, y) — Abal x, y) =0, [6] 
definen cada uno una ¿g”, las cuales tienen los mismos grupos de ceros y 
polos. Se trata de demostrar que, dado un valor f, genérico en la [5], y 
por consiguiente un grupo Gr genérico de la primera g”, existe un valor 
A, de la [6] que da el mismo grupo G, sobre la curva f. 
Considerando la función racional 
A de a(x, y). lx y) Ea ax, dar, y) [7] 
MA  plx,y) " dalx, y) vela, yd (x, y) 
resulta una nueva serie que, por tener sus polos confundidos con sus 
ceros, resulta que todos sus puntos sobre f son fijos y, por consiguiente, 
9 es una constante, sean cualesquiera los valores dados de í y A, o sea 
para todo punto genérico de la f. Dado, pues, un valor a £, v. gr., É,, O 
sea un grupo Ga, genérico de la g definida por 
_ ax, y). 
ox, y) 
para todos los puntos En, Yn, variables de dicho grupo, se verifica 
p 4 lt Yn) . Yi tn) Yu). 
A dl Am Ya) — Dalt Yu) > 
mas como en todos ellos es 
— Qi(Xa, Yn) 
PolKa Yn) 
resulta que también 
Qi (Xze, Yn) 
= Constante. 
O sea, todo grupo de la primera g” pertenece a la segunda. Como el ra- 
zonamiento es simétrico, resulta demostrado el teorema y, además, puesto 
en evidencia que una misma serie lineal 8, Puede ser engendrada de in- 
finitos modos y tiene infinitas expresiones analíticas. 
Dados dos grupos de nivel (v. gr., ceros y polos),*quedan' determina- 
das las distintas expresiones analiticas en menos de una constante arbitra- 
ria cada una; dado además un nuevo punto genérico de f, quedan todas 
ellas determinadas. 
