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existe una correspondencia algébrica y biunivoca, o sea birra- 
cional. 
b) Por un punto genérico de í pasa un grupo y sólo uno de la 
serie. : 
Las propiedades a) y b) son características de la serie g?, porque 
subsiste el teorema. . 
Toda serie simplemente infinita de grupos de puntos sobre una 
curva algébrica que satisfaga las propiedades a) y b), es lineal. 
En efecto; en virtud de la a), a cada grupo corresponde birracional- 
mente el valor de un parámetro £; en virtud de la 5), a un punto variable 
sobre f corresponde un grupo y sólo uno, y, por consiguiente, un solo 
valor del parámetro que, por tanto, resulta función algébrica uniforme 
(de un solo valor), o sea racional de un punto variable sobre la curva f; 
la serie dicha es, por consiguiente, lineal. 
La serie g!, definida por la función racional y sobre la curva algé- 
brica f, recibe también el nombre de involución racional de orden n y 
dimensión 1 sobre la curva f. Involución, porque todo grupo viene de- 
terminado unívocamente por un punto genérico de f; racional (1), porque 
los grupos están en correspondencia biunívoca con los valores de un pará- 
metro, función racional del punto variable sobre la curva f. 
TEOREMA. — Dos grupos de nivel determinan una sola g| sobre 
una curva algébrica t. 
Es inmediato que, dados dos grupos de n puntos Gr” y Gn”, sin punto 
alguno común, sobre una curva f, existen infinitos pares de curvas de un 
mismo orden cada par, que pasan por ellos. Cada par determina un haz 
de curvas cuyos puntos base sean los puntos, situados o no en f, comunes 
a cada par y distintos de los grupos Gn' y Gn”. Sean, por ejemplo, 
ox, y) =0 
pax, y) =0 
y E 
Yi (x, y) =0 
da(x, y) . 0 
(1) Observe el lector que no toda involución de orden n sobre una curva 
algébrica es racional. Veamos un ejemplo en que sucede todo lo contrario. 
Por cada punto P de una cúbica plana sin puntos dobles, existen cuatro tan- 
gentes cuyos cuatro puntos de contacto (llamados tangenciales) corresponden 
al punto P. Haciendo que P recorra toda la cúbica, resulta una involución de 
cuarto orden que no puede ser racional, pues si lo fuera, los puntos P esta- 
rían en correspondencia birracional (teorema de Liiroth, $ XI, 20) con los 
puntos de una recta, y la cúbica dicha sería racional, contra el resultado obte- 
nido al final del $ XII. 
