HR y 
consiguiente, los grupos de la 9 aparecen como grupos de nivel de la 
función racional ¿(x, y) sobre la curva algébrica f. 
Podrá suceder que algunos puntos de f sean puntos base del haz de 
- curvas [1]. En tal caso, estos puntos pertenecen a todo grupo de la serie, 
porque sus coordenadas son soluciones del sistema formado por las ecua- 
ciones [1] y [2], independientemente de los valores del parámetro f. Estos 
puntos, que se llaman fijos, pueden suprimirse en una serie. Nosotros, 
mientras no se advierta lo contrario, los consideraremos descartados, y, 
por consiguiente, nos referiremos, en general, a las series constituidas 
por los grupos de puntos variables dados sobre f por las curvas +. 
El número s de los puntos de un grupo se llama orden de la serie gl. 
Entre los grupos de ésta se encuentran el grupo de ceros, que son las 
raices del sistema 
fx, y) =0 
olx, y) = 0 El 
y el grupo de polos, dado por las soluciones del sistema 
fx, y) =0 
vlx, y) =0 j 141 
Si un punto es cero y polo contemporáneamente, sus coordenadas satis- 
facen tanto al sistema [3] como al [4] y, por consiguiente, pertenece 
a todos los grupos de la serie, o sea: es punto fijo. La recíproca es in- 
mediata. Por tanto, para descartar los puntos fijos de una serie basta 
encontrar los polos y los ceros. El número mn, menos el de los puntos 
- fijos, nos da el orden de la serie. Para grabar las ideas, resolvamos al- 
gunos ejercicios. 
Ejercicios.—1.* Las rectas f£= y dan sobre la circunferencia 1? + y? = 1 
una Eee Sus ceros son los puntos (1,0), (— 1,0). Sus polos son los puntos circu- 
lares del plano. 
e al 
ox Py +1 
— xr —y=0 una serie 2% que por tener dos puntos fijos se.reduce a una 2: 
3.2 Las cónicas f= A dan sobre la cúbica 1y + (17 +y2(x—y)=0 
O | 
una 2), descartados, por ser fijos, el origen, que es doble para la cúbica, y 
los puntos circulares del plano. 
2.2 Las cónicas ¿= dan sobre la cúbica (1? + y?) (x — y) — 
24. Dela misma definición de serie lineal a resulta inmediatamente 
que goza de las dos propiedades siguientes: 
a) Entre los grupos de la gl y los valores del parámetro t 
