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mente a una recta, resulta que los puntos dobles o de coincidencia de 
una 9” sobre una curva racional son 2n — 2. 
El haz de rectas cuyo vértice sea un punto P genérico del plano de 
una curva racional de orden n, define sobre ésta una serie lineal g* con 
2n — 2 coincidencias y, por tanto, 
Las tangentes a la curva desde el punto P son 2n — 2, resultado 
de grandísima importancia. De aquí se deduce la existencia de curvas no 
racionales, v. gr.: la cúbica plana sin puntos dobles no es racional, pues 
si lo fuera, la serie g! definida por un haz de rectas, de vértice situado 
en la cúbica, tendría dos coincidencias solamente; resultado falso, porque 
desde un punto de una cúbica plana sin puntos dobles se le pueden trazar 
cuatro tangentes [10]. 
$ XII. — Serie lineal simplemente infinita g! sobre una curva 
algébrica 
23. Extendamos las consideraciones expuestas en el párrafo anterior 
para la recta, pasando al caso de un curva algébrica 
fx, y) =0 
de orden n. Para ello consideremos la función racional 
px, y) = [1] 
o(x, Y) = olx, y) TIAS) 
donde 
p(x,y)=0 y vr y)=0 
representan dos curvas, generalmente del mismo orden. En el caso que 
una de ellas sea de orden inferior a la otra, debe considerársela comple- 
tada con la recta del infinito, contada cuantas veces sea preciso. De este 
modo resulta que todas las curvas del haz 
olx, y) — teka, y) =0 1] 
son del mismo orden. 
El haz de curvas [1] corta sobre la curva representada por la ecuación” 
ft, y)=0 [2] 
un sistema 001 de grupos de mn puntos (suponiendo rm el orden de las 
curvas + y n el de la f). Para todos los puntos de un mismo grupo, sea 
éste cualquiera, se verifica que la p(x, y) recibe un mismo valor £; por 
