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ferir las consideraciones que se hagan. Se han marcado en dicha figura los 
diversos cortes que sirven de base para el ábaco, a saber: 
1. El de planos paralelos al yx (Vd), que pasando por los puntos 
Cc, C... (2 = C), proporcionan hipérbolas (xy = kc.= k') proyectadas sobre 
el plano del papel según las verticales cc,, cc; ... 
2.” El de los paralelos al zy (DV), que pasando por a, a... (x= a), 
dan líneas rectas proyectadas en aa,, aa; ... (ay = kz). 
3.” Los que lo son al zx (Dd) que pasan por b, b ... (letras n, m y p), 
y dan también rectas bb,, bb, ... partiendo de dichos puntos. Estas rec- 
tas, al proyectarse sobre el plano xz del papel, son concurrentes en el 
vértice o, anotándose en la figura sus ángulos con el eje z, los que se 
marcan con las letras a, 6 y y para poner de relieve la correspondencia 
entre ellas y las que parten de 5, b... en las que figuran con las mismas 
letras los ángulos que forman con el eje horizontal. (Planos y = b, rec- 
tas bx = kz proyectadas en on', om! ...) 
Resulta definitivamente, al llevar al plano del papel todos los elemen- 
tos de estudio para utilizar de modo conveniente las consecuencias de éste 
y planificar, digámoslo así, el paraboloide, que además del haz de líneas: 
verticales que son proyecciones de las respectivas hipérbolas, existen 
otros dos haces de rectas, constituidos también por las proyecciones de 
los dos sistemas de generatrices rectilíneas que tiene la superficie de 
aquél, situadas en cada uno de los planos directores, cuyos dos haces son, 
el uno formado por líneas horizontales, y el otro por rectas concu- 
- rrentes en el origen o. 
He aquí de relieve los elementos primordiales del ábaco que trata de 
construirse, para conseguir lo cual, precisa exponer cuál sea la interpre- 
tación de los diversos haces; siendo de gran sencillez cuanto se refiere: 
a los vertical y horizontal, porque el primero, por sus distancias al ori- 
gen, contadas en el eje z, o sea de las D, acusa las magnitudes de este 
nombre (véase la fig. 1.?); y al segundo, al que caracterizan las distancias. 
oa, le representan las abscisas x* o valores de d, correspondientes a la 
lectura hecha en la plancha de plomo. 
Otra cosa sucede al tratarse de las líneas concurrentes, y para inter- 
pretar este haz precisa recurrir directamente a la ecuación de la genera- 
triz originaria de cada una de ellas, última de las que se han establecido, 
o sea bx = kz, que puede ponerse bajo la forma x= =. con objeto de: 
dejar de relieve el coeficiente angular, cuya significación, al tratarse de 
un punto de coordenadas a, b y c, que como es consiguiente obedecen a 
la ecuación fundamental, se deduce de la aplicación de ésta a dichas coor- 
