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una Curva ¿m3 el ser canónica, es igual o menor que p — 1, porque en 
caso afirmativo ya tenemos el índice de especialidad de la serie. 
FASE gres completa y especial, se verifica 
n > 2r. 
Si A es un grupo residuo de g” respecto de la serie canónica, resulta 
que el que un grupo canónico, que ya contiene los puntos A, contenga 
los de otro grupo Gr de g”, implica r condiciones independientes, a lo 
sumo; mas por el corolario anterior implica n — r, luego 
AGO SEA 12d 
36. Salta a la vista que sobre las curvas racionales.no hay ninguna 
serie g completa, porque dejarían de ser racionales para ser elípti- 
cas (32). 
Sobre la cúbica plana general (y por ende sobre las curvas elípticas) 
existen infinitas 9, completas, pues siéndolo la g% dada por las rectas de ' 
su plano (31), fijando un punto cualquiera de la cúbica, resulta una gl 
residua de la g? dicha, que no puede estar contenida en ninguna 87, por 
no ser racional la curva. Si p > 1, ya existe la serie canónica en la cual 
la serie g! juega un papel importante deducido del siguiente 
TEOREMA.—Dada la curva algébrica t(x, y) =0 de género p > 1, 
la condición necesaria y suficiente para que la serie canónica sobre 
ella sea compuesta, es que la curva t contenga una involución ra- 
cional gl. 
Se indica p > 1, porque en las curvas racionales y en las elípticas no 
existe la serie canónica (32). 
Una serie puede ser simple o compuesta; se dice compuesta cuando 
los puntos genéricos de la curva f están distribuidos en grupos de a dos, 
tres o más, de tal suerte que toda curva del sistema lineal que define la 
serie sobre f, por el hecho de contener un punto de un grupo, contenga 
los demás del grupo. Si tal no sucede, la serie se llama simple. Por ejem- 
plo: la serie g3 que todas las cónicas de un plano dan sobre una cuártica 
plana sin puntos dobles es simple, porque el que una cónica arbitraria 
pase por un punto genérico de la cuártica no lleva consigo el paso por 
otro determinado. Dada una séxtica plana con un punto cuádruplo P úni- 
camente, la serie g% que sobre ella definen las cúbicas compuestas de 
tres rectas concurrentes en P es compuesta, porque el paso de una cúbica 
cualquiera del sistema que define la g? por un punto genérico de la séx- 
tica, entraña como consecuencia el paso por otro, que es el tercero en 
que corta a la curva la recta que une aquél con P. 
Rev. ACAD. DE CIENCIAS.—XIX.—Octubre-noviembre-diciembre 1920. 11 
