E 
tiene puntos múltiples, pues si tuviera uno P s-uplo, los hiperplanos de 
¡ ¡p=1 : —2 ; 
Ep-, que pasan por P darían sobre la C;,, una serie AA completa 
y especial que, no siendo canónica, nos dice que 
29 — 2=s5> Ap —2) (35, f) 
y, por consiguiente, s < 9, por no ser f hiperelíptica por hipótesis. 
$ XXII.—A/gunos ejercicios y aplicaciones 
37. A fin de facilitar al lector la familiaridad con la fecunda doctrina 
contenida especialmente en los tres últimos párrafos, veamos algunos 
ejemplos. 
- Sea f una séxtica plana algébrica de género p cuya curva canónica 
es, por lo tanto, Cs, 2. Consideremos la serie g?, que las cónicas todas 
de su plano cortan sobre dicha séxtica. 
10 p=10. 
En tal caso la séxtica no tiene ningún punto doble y, por consiguiente, 
la serie 23, dicha es completa (31). La serie canónica es g?.. La serie es- 
pecial que sumada con ¿g?, nos da la serie canónica, es la g? definida 
sobre la séxtica por todas las rectas de su plano, ya que si al sistema de 
cúbicas que definen la serie canónica le obligamos a pasar por cinco pun- 
tos arbitrarios de la séxtica (por los cuales pasa una sola cónica), nos 
queda aún una recta arbitraria del plano, y todas las rectas cortarán una 
ge Porque dos parámetros determinan una recta en el plano y además 
corta en seis puntos variables a una séxtica. Esto mismo se deduce del teo- 
rema de Riemann-Roch enunciado en la forma dicha en (35, e), pues la 
ges especial y la 93, completa. 
Las series g3, y gé dichas se dicen residuas una de la otra respecto a 
la serie canónica. El índice de especialidad de Da es tres, según nos dice 
la fórmula 
r=n—p+i. 
2 I=% 
En este caso la séxtica tiene un punto doble P. La serie canónica es 
2, El índice de especialidad de la serie g*, es dos, puesto que es com- 
pleta. Y, en efecto, las cúbicas que pasan simplemente por P pueden 
descomponerse en una recta que pase por P y una cónica arbitraria. La 
