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Luego por un grupo G;z de tal serie pasan por lo menos dos cuádricas 
linealmente independientes (sin más que recordar que son nueve los 
coeficientes arbitrarios de la ecuación de una cuádrica de Ez), y, por - 
consiguiente, fijando un nuevo punto de la C¿, resulta una cuádrica, al 
menos, que contiene totalmente la curva Cé, por cortarla en 13 puntos. 
Por otra parte, por la séxtica C¿ no pueden pasar dos cuádricas distintas; 
r es, pues, igual a ocho. 
De este mismo tipo pueden proponerse infinidad de ejercicios y pro- 
blemas, y, al efecto, ejercitese el lector en demostrar que las cuádricas 
linealmente independientes en el espacio E, que pasan por la curva 
canónica C¿ son tres. 
Item que las cuádricas linealmente independientes del espacio E; 
que pasan or la curva canónica Ci, son seis. 
Si en la curva canónica Cz del espacio E, existe una recta trise- 
cante, existen co" trisecantes de la misma curva, las cuales forman 
una superficie reglada común a todas las cuádricas de E, que con- 
tienen dicha curva. Este es un teorema o problema que se reduce a 
una sencilla aplicación del teorema de Riemann-Roch. Y, en efecto, si 
existe una recta trisecante, estará contenida en un hiperplano Ez; el 
grupo formado por los tres puntos en dicha trisecante que corta a la curva 
es especial y sólo absorbe dos condiciones independientes para el hiper- 
plano que pase por él; por tanto, 
n=—r=2, osea r=1, 
lo cual nos dice que debe existir una serie 91 de grupos Gz análogos al 
que da la trisecante supuesta sobre la curva, y, por consiguiente, que 
existen co 1 trisecantes. Finalmente, una trisecante cualquiera, por tener 
tres puntos comunes con una cuádrica cualquiera de las dichas, estará 
contenida en ésta totalmente, o sea que las cuádricas en cuestión contie- 
nen la superficie reglada formada por las trisecantes dichas. 
Análogamente se demuestra que si existe un plano cuadrise- 
cante a la curva canónica C¿ del espacio E,, existen c0* planos 
cuadrisecantes de dicha curva, los cuales forman una serie e 
Si existe un plano pentasecante de la curva canónica C;, del es- 
pacio E;, existen como consecuencia co? de dichos planos, los cua- 
les cortan a dicha curva en una serie lineal g2. Las cuádricas del 
espacio E, que contienen la curva canónica C?, contienen como 
consecuencia co? cónicas, las cuales forman la llamada superfi- 
cie de Veronesse y que es la. superficie racional del cuarto orden . 
en el espacio Es. 
