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Más fácil es aún demostrar que si una curva canónica CS, con- 
tiene una serie lineal g?, contendrá tres series g! cuya suma es la 
serie canónica g?,; y que sí la Cf, contiene dos series gl, contiene 
como consecuencia una tercera. : 
38. Las curvas canónicas Cf, y las Cf provenientes de series 
completas y no especiales g”, con n > 2p, permiten transformar fácil- 
mente las curvas algébricas con singularidad cualquiera en otras con 
singularidades ordinarias o puntos dobles solamente. 
Considerando que las co? cuerdas de una Cf dicha forman una varie- 
dad de tres dimensiones contenida en E,, podemos proyectar la C/ desde 
un espacio E,-—¿, externo a la variedad dicha, sobre un espacio Ez externo 
a E,-, y contenido con él en E,. La proyección de C; es una Cf sin pun- 
tos múltiples. 
Esta proyección supone un teorema visto intuitivamente por Poincaré 
y demostrado por Castelnuovo: «Un E»—= definido por h — 1 puntos ge- 
néricos de una curva de Ey, no encuentra ulteriormente la curva.» Veamos 
el caso A=2, ya que la demostración se extiende fácilmente al caso general. 
Una cuerda cualquiera PQ de Cf; no puede ser trisecante, pues si se 
apoyase en un tercer punto M de Cf, la proyección de la C¿ desde M 
sería (al menos) doble; mas como PQ no puede ser generatriz múltiple 
(por ser una cuerda genérica) del cono proyectante de la C;, desde M, las 
tangentes a Cf en los puntos P y Q, situadas en el plano tangente al 
cono a lo largo de la generatriz PQ se cortarán en un punto, o sea dos 
tangentes genéricas de Cf se cortan y, por tanto, o son coplanarias O 
pasan todas por un punto: sendas cosas contra la hipótesis. 
Proyectando después la Cf desde un punto O externo a la Masas llos 
ble de las tangentes de Cf (para evitar los puntos cuspidales, como se 
sabe por la Geometría deechptiga elemental) y a la superficie reglada de 
sus trisecantes, resulta una curva plana con puntos dobles solamente. 
Por tanto, una curva plana algébrica i de singularidades cuales- 
quiera se puede transformar birracionalmente en una curva normal 
CI sín puntos múltiples. La C! puede proyectarse en una C;, tam- 
bién sin puntos múltiples, y ésta, a su vez, en una curva plana con 
puntos dobles solamente (1). 
(1) Bertini, Math. Ann., t. 44, y Rivista di Mat., 1894, dió una demostra- 
ción directa—sin salir del plano—de la transformación de una curva f de sin- 
gularidades cualesquiera en otra plana con puntos dobles solamente, resul- 
tado que, como indica Klein, está contenido implícitamente en las propieda- 
des demostradas por Nóther, y más explícitamente en Veronesse, Math. Ann.,, 
t. 19, 1881, y t. 30, 1887, como advierte Severi. 
