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$ XXIII. — Algunas propiedades notables de las curvas canónicas 
39. Con el fin de presentar más amplios horizontes a los lectores de 
nuestro país que deseen profundizar más en esta rama de la matemática, 
vamos a exponer algunos resultados interesantes, al mismo tiempo que 
indicamos materia de investigación. 
Considerando, al efecto, la superficie reglada compuesta de las oo? 
trisecantes de la curva canónica C¿ (en el caso de existencia de una tri- 
secante) que se presentó al final del número (37), averigiiemos el orden 
de esta superficie. Sabido es que orden de una superficie es el de la curva 
de su sección hiperplana genérica. Si la superficie algébrica tuviera, por 
ejemplo, n —1 dimensiones por estar contenida en un espacio mínimo En, 
su orden será el de la superficie de n — 2 dimensiones en que la corta un: 
espacio E, genérico contenido en En. A la nueva superficie se le aplica : 
el mismo criterio hasta llegar a una línea que si está contenida en un es- 
pacio mínimo Ey, tendrá por orden el numero de puntos en que la corta 
un E,—, genérico. 
Cortando la superficie reglada R en cuestión por un espacio Ez del E, 
mínimo que la contiene, tendremos una curva C que pasa evidentemente 
por un grupo Gg de ocho puntos de la g¿ canónica definida sobre C¿ por 
los espacios Ez de E,. Por la curva C pasan tantas cuádricas de una di- 
mensión menos, como eran las que pasaban por la curva Cf y por ende 
por la superficie R. Cortando de nuevo la curva C por un espacio E», 
por tratarse de una curva algébrica y un plano situados en Ez, tendrán un 
número finito de puntos comunes, por los cuales deberá pasar el mismo nú- 
mero (1) de cónicas (cuádricas del espacio Es); como sabemos que este 
número es 00?, resulta que los puntos comunes a las cónicas dichas son 
tres y, por consiguiente, que la curva C es una cúbica, y que el orden de 
la superficie reglada R es tres. 
La demostración que acabamos de exponer se reduce esquemática- 
mente a lo siguiente: | 
En el espacio E, hay 00? cuádricas Q; que pasan por la superficie R. 
» y EOS » Qs » » la curva C. 
» » E, » cónicas Q; » » x=3puntos. 
(1) Nótese que aquí la palabra número significa conjunto o sistema algé- 
brico de varias dimensiones (parámetros libres). 
