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Observando que la expresión 
F(m, n) - (1— (mn — 1) [1] 
es tal que por cada unidad que aumenta m o n en el primer término, au- 
menta n—1 o m— 1, respectivamente, el segundo, resulta que la dife- 
rencia [1] no depende de mm ni n, y, por consiguiente, es una constante 
de la curva f que se considere, o sea ¡ 
F(mn, n) — (m — 1)(n — 1) =K. [2] 
Para calcular K utilizaremos lo único de que disponemos, que es el 
género. Si fes de género p = 0, queda reducida la cuestión al estudio 
sobre la recta. Hallar en ésta los pares de puntos comunes a las series 
81, y 87 equivale a calcular las coincidencias (o puntos dobles) de la co- 
rrespondencia [(n — 1)(m — 1), (n— 1)(m —1)]. Y, en efecto, a un 
punto genérico P sobre la recta le corresponden m — 1 en Gm y n— 1 
en Gx; toda coincidencia de uno de estos n — 1 puntos con uno cualquiera 
de aquellos mn — 1 constituye un punto común que, en unión de P, forma 
un par común a g? y 2]. Nótese que las coincidencias vienen contadas 
dos veces cada una para dar el mismo punto, y tenemos que (rm —1)(1m— 1) 
es el número buscado, o sea que para p = 0, K =0. 
Si f es de género p=0, las 9), 9”, pueden siempre considerarse 
como engendradas por dos haces de rectas de vértices A y B, respecti- 
vamente (mediante transformaciones birracionales de la f). Ahora bien: 
como en tal caso por cada punto doble que se quite a la f desaparece un 
par común a las 9 y 2”, resulta que K =p, y, por tanto, 
E(n, n) =(m — (a — 1) —p. [3] 
41. Calculemos ahora el número de grupos Gr+1 de r + 1 puntos 
comunes a las series 87 y 87, sobre una curva f. No nos referimos a gru- 
pos de menos de r + 1 puntos, porque siendo r la dimensión de una de 
las series, es evidente que hay infinitos, así como de más de r +1 no 
hay ninguno en general. 
Designemos tal número, que evidentemente es una función de las so- 
las variables r, m y n, para una curva de género dado, con el símbolo 
(472, 70): 
El problema se reduce al resuelto en el número anterior, sin más que 
aplicar el principio de continuidad, llamado también de la conserva-- 
