SÓ 
ción del número (1), al caso de una pe compuesta de una gn contada 
Tr Veces. 
Para todo par P, P”, común a las series 8] y 9), resulta que al fijar 
uno de los dos, P”, por ejemplo, quedan fijados, además de P, un grupo 
Gm-: de la 9! ; mas como en la g” quedan todavía r — 1 parámetros libres 
por determinar, resulta que después de haber fijado P' podemos elegir al 
arbitrio r — 1 puntos de entre los m — 2 del grupo Gm-2 dicho (el cual, 
con P, P”, da el grupo elegido) para constituir con ellos un grupo de la: 
g”,. Un grupo cualquiera de los 7 — 1 puntos dichos (los cuales son el 
número de combinaciones sin repetición de m — 2 objetos tomados r— 1 
m == 
arñ== IL 058 ; 
NT 
Gr+1, común tanto a la g! como a la Zn 
Aplicando, pues, la fórmula [3], resulta 
) en unión del par P, P', constituye un grupo 
ME) => aa 
Jron, n)= (MT a) rl” — 2) 
r—1 
y, por consiguiente, 
E(r,m, n)= (Pm —o(2—:) =o( 7.) = MJa=n- (7 Jo=w". [4] 
r—1 
Castelnuovo ha tenido la feliz idea de considerar la fórmula [4] en el 
caso que resulte un número negativo, para lo cual es necesario, como 
veremos, que los grupos Gs+1 dichos sean infinitos, idea que permite de- 
mostrar rapidisimamente el teorema de Riemann-Roch, el cual constituye 
el verdadero núcleo de la geometría sobre las curvas algébricas. Es Cas- - 
telnuovo uno de aquellos sabios que consideran al infinito como venero 
(1) Llamamos la atención de este principio, porque no solamente puede 
ecirse que no ha entrado en nuestra patria, sino que los pocos compatriotas 
que lo conocen no quieren darle cabida en la matemática. Se explica fácil- 
mente este fenómeno si se tiene presente que lo conocen a través de los ale- 
manes, que lo combatieron en los Congresos de París, 1900, y de Heidelberg, 
1904. Después de aquellas discusiones y los trabajos posteriores de Severi a 
que dieron lugar, puede aplicarse dicho principio con toda fecundidad, seguri- 
dad y rigor. En qué consiste tal principio, puede verse en nuestra Memoria: 
«Contribución al: estudio de los: sistemas lineales. de homografías en En», 
Junta para ampliación de estudios, Anales, t. XVII, Mem. 4, pág. 211, y una 
exposición histórico-critica en Enriques, Teoría Geom., vol. Il, págs. 278-321. 
Tanto como para demostrar sencillamente verdades conocidas, sirve el 
principio en cuestión para descubrir otras nuevas, como rs ver el lector 
en nuestras publicaciones, loc. cit., Mem. 4 y 5. ; 
