“Sur les surfaces du quatrieme ordre contenant 
des courbes rationnelles 
par 
Lucien Godeaux (Bruxelles) 
Dans cette courte note, nóus nous proposons détablir une propriété 
«des surfaces du quatriéme ordre, contenant des courbes rationnelles de 
degré pair, en nombre au plus égal a huit, relativement aux involutions 
d'ordre deux, appartenant a une surface de genres un. Cette propriété 
s'établit simplement en utilisant nos recherches sur les involutions appar - 
tenant a une surface de genres un (1). Elle peut s*énoncer de la maniére 
suivante: 
Si une surface du quatrieme ordre contient a courbes rationnel- 
les de degrées 2n,, 2n2, ..., 2n, (1 < 8)et8— 2 points doubles coni- 
ques, la somme n, + nz +... + n, etant paire et les courbes ne se ren- 
contrant pas et ne passant pas par les points doubles, si de plus 
.la surface represente une involution d'ordre deux appartenant a une 
surface de genres un, elle représente au moins une seconde involu- 
tion de méme nature. 
Nous en déduisons le théoreme suivant: 
Si une surface de genres un representant une involution d'ordre 
deux apartenant á une surface de genres un, possede une systeme 
linéaire de genre impair (supérieur a trois), elle est l' image d'au 
moins une autre involution de méme nature. 
(1) Mémoire sur les involutions appartenant á une surface de genres un 
(Annales de Ecole Normale Supérieure, 1914, 1919). 
Au sujet de ces recharches, voir également nos mémories publiés dans les 
Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse (1914), les Bulletins de l Acadé- 
mie Royale de Belgique (1913, 1921), le Bulletin de la Société Mathématique de 
France (1913, 1915, 1919), les Annaes da Academia Polytechnica do Porto 
-(1916, 1920), etc. 
