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L'existence d'un systéme de genre 11, par exemple, conduit a P'exi-- 
stence de 309 nouvelles involutions. 
Ces involutions sont naturellement situées sur des surfaces ditfé- 
rentes. 
1.—Soit F une surface du quatriéme ordre, de genres un(pa =P,=1), 
contenant a (<8) courbes rationnelles C,, C>z, ..., C, respectivement 
d'ordre 2n,, 2), ..., 2,, et 8 —« points doubles coniques. Nous suppo- 
serons les courbes rationnelles C,, Ca, ..., C¿, dépourvues de points mul- 
tiples et ne se rencontrant pas deux-a-deux. De plus, ces courbes seront 
supposées ne pas passer par les points doubles de F et ceux-ci ne seront 
pas infiniment voisins. 
Chacun des 8 — a points doubles coniques est équivalent, au point de 
vue des transtormations birationnelles, a une courbe rationnelle de de-- 
gré — 2. Nous désignerons ces 8 — « courbes par Ca +1, ..., Cg- 
Il existe, sur la surface F, 4 autres courbes ratiomnelles, que Pon ob- 
tient de la maniére suivante: Soit |C| le systéme des sections planes de 
la surface F. Les « courbes 
C= 106 Ad 2 oa) 
sont rationnelles. C'; est découpée, sur la surface F, par la surface d'or-- 
dre n; passant par C;. 
On vérifie aisément les relations suivantes, dans lesquelles le symbole 
[A, B] représente le nombre de points communs á deux courbes A, B: 
[CC 5124 D, 
[SAEZ ITOR 
(ii C=0.: 
2.—Considérons le systeme de courbes effectives 
¡[D]=|C, + 14€, + su E 14Coal- 
Il posséede comme courbes fondamentales propres les courbes C,, .... 
Cu Co +1» --:» Cs- Son genre, 7, est donné par la relation 
2—2=4- An +... hn) +4 +... +4n5, 
d'oú 
== ++... ++ 3. 
Ce systéme est simple, sans quoi, le systeme des sections planes |C| 
de F ne serait pas simple. 
Rapportons projectivement les courbes de || aux hyperplans d'un: 
