a 
Als 3% + Ay + 2) et de dimension (égale au genre) 2, — 5 ay + 2) AA 
Ces surfaces découpent, sur ha courbe I',, une série linéaire d'ordre 
Aa — = a + 2) non spéciale, puisque T, est de genre = — = a, + 1 
el que l'on a certainement «, < (a —1la+ >). Par conséquent, d'a- 
pres le théoreme de Riemann - Roch, cette série a la dimensión 
2 
passant par I,. Ces surfaces marquent, sur F, en dehors de T,, des cour- 
bes du systeme linéaire |T',!. 
La courbe UI”, a Pordre (sur F) 
As. PE ay + 2) — % — 1 et il y a des surfaces d'ordre a, — 5 a +2 
[U'o, C] al 20) — Ay =P 4, 
égal a celui de T¿. De plus, on trouve aisément que 
MC 1 o)i 
MACAU 08): 
D'autre part, on a 
2% = AC + (Sn, PA NES + ... + (21 y ES DO Fa nera EOL TE Ces 
par conséquent, la surface F représente une seconde involution d'ordre 
deux, appartenant á une surface de genres un, les courbes de diramation 
étant cette fois C',, C', ..., C'%, Cg+1, ---, Cg. Donc: 
Sim +2 +... + n, est pair, F représente au moins deux invo- 
lutions d'ordre deux, appartenant a des surfaces de genres un. 
4,—Soit Y une surface normale de So (e > 3), de genres un, image 
d'une involution d'ordre deux, appartenant á une surface de genres un. 
Supposons que Pon puisse représenter d'une maniere au moins, le nom- 
bre p — 3 par une somme de a carrés (a < 8) 
p—=3=1 ++. + 1%, 
la somme n, + na + ...., + ny tant paire. 
La surface Y posséde, comme on sait, huit points doubles coniques. 
Soient Py, Lz, ..., lg les huit courbes rationnelles de degré — 2 équivalen- 
tes á ces points doubles, |''| le systéme des sections hyperplanes. Le sys- 
teme |C — nm, T, — nz, T¿—... — naTa| existe et est de dimension trois. 
De plus, il est simple. Si on le rapporte projectivement aux plans d'un Ss, 
on obtient, comme transftormée birationnelle de Y, une surface F, d'or- 
