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dre 4, possédant « courbes rationnelles satisfaisant aux conditions des. 
numéros précédents. Par suite F et Y représentent au moins une seconde 
involution d'ordre deux appartenant á une surface de genres un. 
Si une surface de genres un, a sections hyperplanes de genre p,. 
represente une involution d'ordre deux appartenant a une surface: 
de genres un, et si l'on peut trouver huit nombres n;, M», ..., Mg, en- 
tiers, positifs ou nuls, dont la somme soit paire et qui satisfait a 
la relation 
e—-3=N+nM+..+n, 
la surface represente au moins une seconde involution analoque a 
la premiere. 
Remarquons que n, + nz + ... + ng devant étre pair, il y a un nom- 
bre pair de nombres 7;, 12, ..., Mg pouvant étre impairs, donc p — 3 est 
pair. 
Inversement, si p — 3est pair, les nombres n,, ..., 1g impairs sont en: 
nombre pair, par suite, la somme n, + ... + ng est paire. 
D'autre part, d'apres le théoreme de Bachet, p — 3 peut toujours s'é- 
crire sous forme d'une somme de quatre carrés au plus, donc: 
Si une surface de genres un represente une involution d'ordre: 
deux appartenant á une surface de genres un, et si elle possede un 
systéme linéaire de genre impair, elle represente au moins une au- 
tre involution analogue. 
5.—Supposons par exemple p¿=11 el cherchons de combien de ma- 
niére on peut décomposer 8 en ne somme de carrés a], ..., Aé, la somme: 
1 + na + ..- + ng étant paire. On trouve inmédiatement: 
IT ES a pea 
E a) o aia e 
8=4+-4. 
Comme dans les deux derniers cas, on peut intervertir le róle des 8: 
points doubles, on trouve que: 
- Si une surface de genres un, normale, de S,,, est l' image P'une: 
involution dV'ordre deux appartenant á une surface de genres un, 
elle est limage de 309 autres involutions analogues. 
Bruxelles, 24 février 1921. 
