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(cosa que sucede en la cúbica dicha) resulta transftormabie birracional-- 
mente en la curva C;, o sea en la recta contada dos veces (recta doble), . 
sin más que tener presentes los puntos dobles (de dirramación sobre la. 
recta) de la g! dicha. 
Consideremos, por tanto, dos cúbicas cualesquiera planas sin puntos 
dobles, y transftormémoslas en dos rectas dobles superpuestas. 
La cuestión queda reducida a averiguar si la recta doble con cuatro 
puntos de dirramación es o no transformable proyectivamente en sí mis-- 
ma. Para ello es preciso y basta que la razón doble de los cuatro puntos 
de dirramación sea invariante. Resulta, pues, que /as curvas elípticas 
tienen un solo módulo. 
Si las curvas de género p son hiperelípticas, como contienen por defi- 
nición una g] con 2p + 2 puntos dobles o de coincidencia, se las puede 
representar sobre la recta doble con 2p + 2 puntos de dirramación. De 
este modo queda reducida la cuestión a averiguar el número de inva- 
riantes de las transtormaciones proyectivas, los cuales son evidente-- 
mente tantos cuantas sean las razones dobles que pueden formarse con 
2p + 2 puntos distintos, o sea 20 + 2 — 3, ya que tres pueden elegirse 
arbitrariamente, y cada uno de los restantes da con ellos distinta : razón 
doble. El número de módulos de las curvas hiperelípticas es, pues,. 
2 le ¡ed 
Si las curvas no son hiperelípticas, sea, en primer término, 
DA 
Mediante una transtormación birracional son referibles a la cuártica plana: 
con un solo punto doble, la cual contiene, por consiguiente, una g” con 
seis puntos dobles o de coincidencia. Esta particularidad nos permite- 
transformar dicha curva en la recta doble con seis puntos de dirramación, 
y, por lo tanto, reducir la cuestión a la recta con dichos seis puntos. Re-- 
sulta, pues, que las curvas de género 
p=2 
no hiperelípticas tienen tres módulos. Designando por M el número de- 
módulos, tenemos que para 
p=2, M=3p—3. 
Si 
PE 3, 
todas las curvas son referibles birracionalmente a la cuártica plana gene-- 
ral (sin ningún punto doble). Como esta curva es canónica, ya que las- 
