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“parámetros independientes de una sustitución lineal genérica sobre la 
recta), resulta que las curvas racionales admiten 00? transformacio- 
nes birracionales. Caso particular muy sencillo es el teorema que en 
Geometría proyectiva elemental afirma que una. cónica puede transfor- 
marse proyectivamente en sí misma, dejando fijos tres de sus puntos en 
la transformación. Como las curvas racionales y normales [29] Cf, son 
todas proyecciones unas de otras hasta llegar a la recta, la cual admite 
003 transformaciones proyectivas en sí misma, y toda proyección es una 
-proyectividad, resulta que dos curvas racionales y normales de un 
mismo orden admiten v03 transformaciones proyectivas entre sí, y 
una puede transformarse proyectivamente en sí misma, conservando 
tres puntos fijos. Sabido es que cuando la transformación entre dos 
«curvas es birracional y no proyectiva, puede no extenderse a los espacios 
ambientes. | 
TEOREMA RECÍPROCO.—Toda curva algébrica que admite infini- 
tas transformaciones birracionales en sí misma es racional. 
Sea, para fijar ideas, una curva Cf? en el espacio ordinario. Si la 
«curva Cf/ es invariante en infinitas transformaciones birracionales, existe 
un grupo infinito de entes algébricos, es decir, infinitas superficies ordi- 
narias que pasan por la curva (1), el cual es continuo, puesto que es 
algébrico y depende de uno o más parámetros reales. En este grupo con- 
tinuo existirá la transformación idéntica, y, por consiguiente, si consi- 
«deramos la serie 2, que corta sobre la curva plana f, transformada de la 
Ci, el haz de rectas de vértice A, quedará transtormada en sí misma, 
«por quedar invariante la curva. El grupo de las tangentes desde A a la f 
se transformará en sí mismo. Como los puntos dobles de la g7 son 2n + 
+ 2p — 2, y, por otra parte, si fueran tres no habría infinitas transtor- 
macionés, resulta que 
2n + 2p —222, 
2n +2p 24 13] 
tórmula imposible a menos que | 
p==0. 
(1) En general, las infinitas transformaciones que dejan invariante la 
-curva, dan lugar a un sistema infinito de entes algébricos, el cual tiene uno o' 
«dos parámetros independientes, sistema tal que todos sus elementos contie- 
nen la curva. Correspondiendo cada transformación a cada valor del o de los: 
parámetros, deberá existir la transformación unidad, ya que el grupo es.con- 
tinuo. pS 
