A aa 
Si el punto A es (n — 1)-uplo para la curva f, resultan los puntos 
«dobles 
21 =D HE2p =2 +2p, 
-que para 
pi 
indica la posibilidad de la fórmula, si ya no supiéramos que se trata de 
“una curva racional, por contener una g! completa. 
Resulta, pues, que /a condición necesaria y suficiente para que 
una curva algébrica sea racional es que admita infinitas transfor- 
.maciones birracionales. 
Las oo transformaciones antedichas nos permiten fijar dos puntos 
“sobre la curva, quedando todavía infinitas transformaciones que forman 
“un grupo continuo. 
Que las curvas algébricas de género 
p>1 
"no pueden admitir infinitas transformaciones, se demuestra muy fácil- 
mente como sigue. 
Si son elípticas, basta estudiar la cúbica plana general. Si ésta admitie-: 
-se infinitas transtormaciones, podria fijarse un punto A de ella por el cual 
pasa un haz de rectas que la corta en una g! cuyos puntos dobles son 
los cuatro tangenciales de A. Como los cuatro tangenciales serán un in- 
variante y A debe quedar fijo, no existe ninguna transformación proyec- 
tiva del plano que lo consiga, a menos que Jos cuatro tangenciales estu- 
“viesen en línea recta, lo cual es imposible. 
Si las curvas algébricas son de género 
pai 
y admitiesen infinitas transformaciones birracionales en sí mismas, fijando 
un punto Á sobre una tal curva, la curva canónica Cira tendría un punto 
tijo, y, por consiguiente, tendría todos sus puntos dobles y se descom-' 
pondría en una SA contada dos veces. Como esto sólo sucede cuando 
existe una gl, podemos considerar la serie completa definida, contando 
dos o tres veces la canónica, con lo cual se obtiene una transformada que 
ya no puede descomponerse. 
Estas cuestiones nos llevan de la mano al estudio de las series com- 
pletas 9 invariantes sobre la recta en un grupo finito I' de transtorma- 
ciones proyectivas. Esta cuestión, cuyo gran interés y utilidad para la 
«Clasificación de los varios tipos de curvas de un mismo orden es obvio, 
