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otras tantas funciones irreducibles racionales de los parámetros 4, yu, las 
fórmulas 6 ! 
Yo = folA, 1), Yi = fi(A, 1), vés Yr = Írk, 1), : (11 
representan una superficie F tal que a cada valor de 4, y, corresponde un 
punto sobre ella. Inversamente, dado un punto por sus coordenadas 
yi(i=0, 1, ... r), las A y y son funciones algébricas de y;; si solamente 
corresponde un solo valor de A, y, serán estas funciones racionales (al- 
gébricas y de un solo valor) de las y;; si les correspondiesen p valores, 
demostró Castelnuovo que todos estos grupos de p pares de valores de 
A y y forman una involución tal que están en correspondencia birracional 
con los pares de valores de otros parámetros que, pudiéndose tomar como 
coordenadas absolutas de los puntos de un plano, resulta que son, en 
definitiva, funciones birracionales de los puntos de F. 
Como se supone que las funciones f; son linealmente es! : 
la superficie F está contenida en un espacio mínimo E;,, en el cual los. 
hiperplanos E,—, vienen representados por las ecuaciones lineales 
MoYo + MY1 + hd Ya +. + Mr =0. [2] 
A las secciones que estos hiperplanos dan sobre F corresponden las 
curvas de un sistema lineal S, de r dimensiones sobre un plano = cuyos 
- puntos tienen las coordenadas A, y, de las [1], sistema cuya ecuación ge- 
neral es 
A + df =0. [3] 
Dadas, pues, las fórmulas [1] y, por tanto, las secciones de los hiper- 
planos [2] con F, se tiene inmediatamente la correspondencia proyectiva 
entre ellos y las curvas [3]. Inversamente, dado. el sistema [3] de curvas 
- sobre un plano =, se establece inmediatamente la correspondencia pro- 
yectiva entre ellas y los hiperplanos [2] de un espacio Ey, y en conse- 
cuencia sus secciones, con una superficie definida por las fórimulas [1]. 
Estas sencillas consideraciones entrañan el que toda superficie algé- 
brica racional F- está ligada a un sistema irreducible S, de ¿” curvas 
algébricas de un plano z, y recíprocamente; de tal modo .que .el estudio 
de aquel sistema equivale al de la superficie, ya que cada propiedad de 
uno se traduce en una propiedad de la otra. Por esta razón suele llamarse 
a un tal sistema Sr de curvas planas ¿magen de la superficie F. Salta a 
la vista la poca dificultad con que pueden descubrirse y demostrarse mul- 
titud de propiedades de cada superficie racional, una vez conseguida su 
Rev. ACAD. DE CIENCIAS. —1921. E 22 
