imagen plana dicha. La proyección estereográfica es un caso particular 
aplicado a las cuádricas; y de las superficies racionales más conocidas; 
por ejemplo, las de tercero y cuarto orden en el espacio Ey, hay trabajos 
muy completos, dando origen a un interesantísimo capítulo de la moderna 
geometría descriptiva. 
Si mediante una transformación birracional se refiere el plano x= del 
sistema S, al plano 7”, y el sistema S, se cambia en otro sistema S',, es 
claro que la superficie F se transforma en otra superficie F' cuya ¿ma- 
gen es S',; mas como los sistemas S, y S', están en correspondencia pro- 
yectiva con los hiperplanos de los espacios en que F y F', respectiva- 
mente, están contenidas, resulta que todo problema de transformación 
birracional entre los sistemas S, y S'/ y, por consiguiente, entre las su- 
perficies F y F' se reduce a otro de correspondencia proyectiva, 
Todo el estudio de aquellas series o sistemas de curvas análogo al de 
las series de grupos de puntos ¿7 hechos sobre una recta, será el que 
deberá servir de fundamento y constituir el nervio del estudio de las su- 
perficies racionales. Como no pretendemos entrar en él, sino únicamente 
abrir horizontes al lector, diremos solamente que el estudio puede ha- 
cerse (1) paralelamente al expuesto para las curvas; que para tener el 
orden de una superficie racional F bastará hallar el número de los puntos 
variables de intersección de dos curvas genéricas del sistema S,; que 
decir que un sistema lineal S, está contenido en otro S,+1 equivale a de- 
cir que la superficie F, de E,, correspondiente al sistema S,, es bes 
ción de la Fy+, de Er+1, correspondiente al sistema Sy+:. 
Es claro que los sistemas lineales de curvas existen también sobre 
las superficies algébricas, sean o no racionales, y que el estudio de los 
mismos permite profundizar en el conocimiento sistemático y general de 
aquéllas. , 
Al ocuparse de una superficie algébrica, lo primero que ocurre es sa: 
ber si es o no racional. La importancia del asunto ha dado lugar a que los 
geómetras, especialmente en Italia, logren demostrar muchos teoremas 
estableciendo ora condiciones necesarias, ora condiciones suficientes para 
la racionalidad de las superficies. Todos ellos exigen mucho bagaje geo- 
métrico y suelen ser de laboriosa demostración. Vamos a exponer el que 
creemos más sencillo. 
(1) En parte está ya hecho, aunque falte mucho para la sistematización. 
Para no fatigar con muchos datos bibliográficos, véase Math. Ann., Bd. 48, 
por Castelnuovo Enriques, donde, además de exponer perfectamente el es- 
tado de la cuestión, dan abundantísima bibliografía. 
