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:49. Si una superficie algebrica F contiene un haz racional de 
«curvas racionales, es racional. SAEd 
Como la demostración es completamente general, nos limitarse al 
“espacio ordinario, y, por consiguiente, en lugar de las fórmulas [1], re- 
¡presentaremos la superficie F por el sistema 
x=f(l, y) 
y =0(k y) /, 14] 
z = YA, y) 
«donde f, e, +, se suponen funciones irreducibles y racionales. Nótese, sin 
-embargo, que no están excluidos los irracionales aritméticos, sino sola- 
"mente aquellos que afecten a las variables 4, y. 
A primera vista parece evidente el teorema, pues siendo racional una 
«curva cualquiera del haz, y éste racional, las coordenadas de los puntos 
«de una tal curva pueden expresarse en función racional de un paráme- 
tro £, esto es, se pueden referir birracionalmente a los puntos de una 
recta, y, por tanto, los puntos de la superficie F podrán ser expresados 
-en función racional de dicho parámetro f y del parámetro A del haz racio- 
mal de curvas dado. El razonamiento no es verdadero, porque no tiene 
-en cuenta que, dada una curva racional del haz, al expresar las coorde- 
nadas de su punto genérico en función del parámetro £, por ejemplo, en- 
“tra un irracional numérico tal que, al variar la curva en el haz racional, 
-su parámetro A está afectado de dicho irracional, que no siendo más que 
numérico para una curva dada del haz, lo es funcional para una curva 
«genérica del mismo. Esto se ve muy claro en el caso en que el haz racio- 
,nal sea de curvas planas, v. gr.: 
TEN 
En tal caso, dado un punto cualquiera P de la curva racional situada 
«en el plano 
EN 
¡los demás de ella se expresan en función racional de las coordenadas 
«de P, si bien con algún irracional numérico de la constante K; mas como 
K varía en el haz racional, el irracional deja de ser numérico para ser 
.algébrico. 
Sea, pues, 
F(r. y, 2) =0 
a ecuación de la superficie algébrica dada y 
px, y. 2) _ 
p(x, y, 2) 
