- 127 - 



trabajo nos referiremos siempre a transformaciones u operaciones pun^uá- 

 les y bíaníüOQas, aunque algunas de las proposiciones puedan tener apli- 

 cación amas amplias transformaciones. 



2. En este terreno, por aplicar a un elemento A la operación P en- 

 tenderemos hallar su transformado A' mediante dicha operación; y se in- 

 dicará en forma de producto de este modo: A • P = A'. 



También deberemos considerar transformaciones resultantes de apli-. 

 car a unos elementos y a sus transformados sucesivamente varias trans- 

 formaciones. 



Sean, para fijar las ideas, P, Q, R, transformaciones cualesquiera u 

 operaciones puntuales sobre un plano, y F una figura cualquiera de este . 

 plano. Supongamos que P transforma F en F'; que Q transforma F' en F", 

 y que R transforma F" en F'": se llama'^ roí/wc/o de las tres operaciones 

 P, Q, R, la transformación que cambia F en F'", y se designa por PQR; 

 colocando los símbolos de las operaciones en el mismo orden, de izquier- 

 da a derecha, en que se suponen efectuadas. 



Cuando se transforma cada ente de un conjunto en sí mismo; es decir, 

 cuando no se transforma, como por un giro de 360° de un plano alrededor 

 de una perpendicular al mismo, o por un giro de 0°; o como por el produc- 

 to de tres simetrías planas: dos alrededor de ejes perpendiculares y la 

 tercera respecto de su punto de intersección; la operación que tal hecho 

 realiza se llama la operación idéntica o identidad, y se la representa 

 por 1 . 



3. En los productos de operaciones se verifica la ley asociativa. En 

 efecto, los productos 



PQR = P(QR) = (PQ)R 



son equivalentes; porque si P transforma F en F', Q transforma F' en F", 

 y R transforma F" en F'"; si además (QR) transforma F' en F'", y si (PQ) 

 transforma F en F"; al mismo resultado se llega operando sobre F por P, 

 luego por Q y finalmente por R, que operando por P y luego por (QR), y 

 que operando primero por (PQ) y luego por R. 



En los productos de operaciones no se verifica en general la ley con- 

 mutativa. En efecto: sea P una rotación alrededor del centro C, de un 

 ángulo de 90°, y Q una traslación de vector aa . La P transforma el pun- 

 to A en A', y la Q, A' en A". La Q transforma A en Aj, y la P, A^ en Ag. 

 Construyendo la figura se ve, sin trabajo, que A" es distinto de Ag. En 

 cambio, supongamos que P es una traslación de vector a^ y Q otra trasla- 

 ción de vector ¿>g, y que P transforma un punto A en A', y Q el A' en A"; 

 por otra parte, si Q transforma A en A^ y P, Ai en Ag, los puntos A" y 



