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A2 son uno mismo; pues ambos son el extremo opuesto a A de la diago- 

 nal del paralelogramo 



AA'A"Ai = AA1A2A'. 



Resulta, por consiguiente, que la ley conmutativa de la multiplicación 

 de operaciones unas veces se verifica y otras no. Las operaciones en que 

 tal ley se verifica se Waman permutables; aquellas en que no se verifica, 

 no permutables. En estas últimas hay que tener cuidado con el orden 

 de sucesión de las operaciones; de lo contrario, los resultados pueden no 

 ser comparables. 



4. Se llama segunda, tercera, cuarta, etc., potencia de una operación 

 P al resultado de aplicar dicha operación a los elementos de un conjunto, 

 y a los de cada transformación sucesivamente dos, tres, cuatro, etc., ve- 

 ces; y se expresan por P^ ps P*... P« . 



La operación que deshace lo hecho por otra operación P; es decir, que 

 vuelve los entes del conjunto resultante de P otra vez a su ser y estado 

 primitivo, se llama operación inversa de P y se representa por P— i; puesto 

 que por definición es 



PXP-i-=l, 

 será 



p-iXP^ = l. 



El producto, pues, de toda operación por su operación inversa es siempre 

 permutable. Son inversos dos giros alrededor de un mismo centro C, el 

 uno de a grados y el otro de (360 — a), ambos del mismo sentido; o bien uno 

 de a grados y otro de —a grados, esto es, iguales y de sentido contrario. 

 De ambos modos 



PXP-i = P-íXP = l. 



La identidad u operación idéntica es permutable con cualquiera opera- 

 ción, lo cual es evidente, y se puede escribir 



1XP = PX1=P. 



. El producto de dos potencias de una operación es una potencia de la 

 misma cuyo exponente es la suma de los exponentes. Esto es una conse- 

 cuencia de la ley asociativa. Según esto, la operación idéntica puede re- 

 presentarse también por P°. La potencia de otra potencia de una opera- 

 ción es una potencia de la misma, cuyo exponente es el producto de los 



