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Poniendo en la última de estas igualdades en vez de a' su expresión dada 

 por la primera, se tendrá 



ai = gP . Q; 



multiplicando la segunda por Q-^ sale 



íZiQ-i = a, 



y sustituyendo este valor de a en la anterior, se tiene por último: 



ai' = GiQ-iPQ. 



Como comprobación supongamos que la operación P sea una traslación de 

 vector m„ y que la Q sea una rotación de 60° alrededor de un punto C. 

 La traslación lleva el punto a a a\ y la rotación lleva a a a-^y a' a a{. 

 Operando la rotación inversa Q— ^ sobre á^ viene éste a a\ éste mediante 

 P viene a a' y éste mediante Q viene a' a{. 



Supongamos ahora que P sea la rotación anterior y Q la traslación; y 

 que P lleve b a b\ y la traslación lleve b a b^y b' a b/. Operando la tras- 

 lación inversa Q-^ sobre bi este punto regresará a b; el giro P llevará 

 6 a ¿>' y la traslación directa Q llevará b' a b^'; en todos los casos será, 

 pues, 



ai = ai'Q-iPQ. 



6. Se llama grupo a un conjunto de operaciones, entre las cuales se 

 halle la identidad, tales que el producto de dos cualesquiera de ellas equi- 

 valga a una operación del mismo conjunto. Todas las rotaciones posibles 

 alrededor de un eje forman un grupo. Todas las traslaciones posibles en 

 un plano forman otro grupo, etc. 



Un grupo se llama finito cuando contiene un número finito de opera- 

 ciones, e infinito cuando las contiene en número infinito. Orden de un 

 grupo finito es el número de las operaciones en él contenidas entre las que 

 se cuente la operación idéntica. Un subgrupó es un grupo contenido en 

 otro, y. gr.: de todas las operaciones consistentes en movimientos sobre 

 un plano, los giros forman un subgrupó, 



7. Teorema /.."—Todas las operaciones que son permutables con una 

 dada Q constituyen un grupo. Sean P Pi Pg P3... operaciones todas per- 

 mutables con Q, esto es, tales que: 



PQ=QP, PiQ = QPi, P2Q = QP2, P3Q = QP3, etc. 



