— 131 -^ 



De aquí y de la propiedad asociativa de la mujtiplicación de operaciones 

 se sigue 



(PPi)Q = P(P,Q) = P(QPi) = (PQ)Pi = (QP)Pi = Q(PP,), 



(P2P3)Q = PaíPsQ) = P2(QP3) = (P2Q)P3 = (QP2)P3 = Q(P2P3). 



Luego los productos (PPi) (P2P3), etc., son también permutables con Q, 

 y como lo es la operación idéntica, ésta pertenece al conjunto y éste cons-, 

 tituye un grupo. 



8. Teorema 2° — Todas las operaciones comunes a dos grupos dife- 

 rentes constituyen un grupo. Poroue si P y P' pertenecen a la vez a los 

 grupos Gi y Qg, también su producto pertenece a los dos grupos, así como 

 la operación idéntica, por la definición de grupo. 



9. Teorema J.°^Si para una cierta operación P, hay una potencia 

 P« que es la identidad, hay otras muchas potencias de P que son también 

 a identidad. Todas aquellas cuyos exponentes son múltiplos de a. Porque 

 siendo , 



psci = (pa) X (P5<) X (P«) 

 y siendo 



P«=l, 

 será 



(P«)(P«)(pcí)^lXlXl = l. 



10. Teorema ■^.°— Puede ocurrir, según esto mismo, que alguna po- 

 tencia de P de exponente menor que a sea también la identidad; pero en 

 este caso el mertor exponente n, distinto de cero, capaz de híacer a 



es un divisor exacto de a. Porque si a no fuera igual a kn, sería 



a = kn^ r, 

 y se verificaría que 



1 = pc! = Y>kn-\-r = pkti X Pr; 



y como 



pkn == {pn)k =:. 1, 



será 



P'' = 1; 



