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y como r es menor que n, y este es el mínimo que hace 



P«=l, 

 tiene que ser 



r = 0. 



El menor exponente n de P, para el cual es P« la identidad, se llama or- 

 den de la operación P, que no debe confundirse con el orden del grupo. 



11. Si P es una operación del orden /z y Q una cualquiera no permu- 

 table con P, la transformada de P mediante Q es también del orden n. En 

 efecto: 



(Q-iPQ)n = Q-iPQ . Q-iPQ . Q-iPQ... Q-^PQ = Q-iP«Q = (Q--iPn)Q = 

 = (Q-^X1)Q = Q-^Q = 1, 



y no puede haber ningún número r menor que n que haga 



(Q-iPQ)r = 1. 



porque si, siendo r <n, fuera 



(Q-iPQ)r = 1, 

 se tendría como antes 



Q-iprQ=l; 



y como es siempre 



y dos cosas iguales a 1 , iguales entre sí, sería 



Q-iprQ = Q-iQ. 



De donde . <, 



P'-Q = Q, 

 y por tanto 



P' = l; 



lo cual no puede ser, porque entonces sería r el orden de P y no /z, contra 

 el supuesto. 



12. Si P es una operación del orden /z, todo número « para el cual sea 



pa = 1 

 es un múltiplo de /z; esta es la misma verdad contenida en el teorema 4.° 



