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13. Si P es una operación del orden n, su inversa P-^ es también del 

 orden n. En efecto: siendo 



sera 



y como 



sera 



y por tanto 



?« = 1, 



p.Prt-l = l; 



PP-i = l, 

 PP/z-i=.pp-i, 



p/i-i = p-i. 

 Elevando a n esta última igualdad invertida se tendrá: 



(P -i)rt == [P{n-\)]n = {^n){n-í) = 1 (n-i) = 1 . 



Y si se toma un número r <. n se tendría análogamente: 



(P-i)r == [P(«-i)Jr = pr(n-l) . 



Para que esta potencia de P fuera 1 , tendría que ser 



r(n — í) = kn, íl] 



Siendo ^ > 1 ; y entonces 



rn — r=kn, {r — k)n = r, (r — k)r<Cr y r — k<,\; 

 resultado absurdo porque siendo ryk enteros no puede ser 



r — k<\, 

 a menos que 



r— k = ó r = k, 



lo cual, según [1], implica otro absurdo: 



n—l=n. 



Luego (P~*)^ no es 1 , y la mínima potencia que hace a P-^ igual 1 es la de 

 grado /z; el orden de P-i es, pues, n. 



