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14. También se verifica que 



Pk'n±h = p + h^ 



puesto que de . 



Y>kn=\ ■ 

 sale . ' 



pkn . P±/Z=z:P±/Z, 



lo cual prueba, la proposición. Luego si P es una operación del orden n se 

 puede, en cualquiera de sus potencias, aumentar o disminuir el exponente 

 en un múltiplo de /z, sin que sea alterado el resultado de la operación re- 

 presentada. 



15. Las potencias (incluyendo las de exponente positivo, nulo y ne- 

 gativo) de una operación forman un, grupo. Puesto que 



Pr X P^ = P('-+s), P^ X P-« = ?^r-s) y pr X P-'" = P" =^ 1 . 



Las potencias sólo positivas forman un subgrupo del anterior, y las sólo 

 negativas otro. 



16. Las potencias de una operación de orden finito forman un grupo 

 finito cuyo orden es el mismo de la operación que lo origina. 



En efecto, entre las potencias de una operación P del orden /z, todas 

 las que son diferentes son: 



P, P2, P3, P*, ps..., P« = l. 



Porque si m es un entero positivo diferente de los 1, 2, 3, 4, 5... n, se le 

 puede quitat" un múltiplo de n de modo que el resto sea uno de esos nú- 

 meros. Y si /n es un número negativo —5 se le puede añadir un múltiplo 

 de n (el kn inmediato superior a s) de modo que 



kn — s<Cn. 



17. Las condiciones impuestas por definición a las operaciones para 

 que formen un grupo, están inspiradas en un sentido muy amplio del con- 

 cepto de igualdad: el de que formen un grupo todas aquellas operaciones 

 que transforman una figura en otra, que pueda mirarse, desde un cierto pun- 

 to-de vista, como igual a la primera. Y como la igualdad es idéntica, refle- 

 xiva y transitiva, ha hecho falta incluir en el grupo la operación idéntico. 

 que transforma una figura en sí misma: Toda cosa es igual a sí misma; la 

 operación inversa que vuelve la figura transformada a su ser y estado pri- 

 mitivo. Si una cosa es igual, a otra, ésta es igual a aquélla; y la ope- 

 ración producto que permite ir de la. figura dada a otra y de ésta a una 



