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tercera, y pasar de una vez de la primera a la tercera. Si una cosa es 

 igual a otra y éstaígual a una tercera, la primera es igual a la 

 tercera, 



18. Cuando la igualdad entre las figuras dadas y sus transformadas 

 es muy condicionada, el número de las "operaciones comprendidas en el 

 grupo es más restringido. Cuantas menos circunstancias se tengan en 

 cuenta en la igualdad, más amplio es el grupo. Hay igualdad de forma; de 

 extensión; hay congruencia propiamente dicha, o posibilidad de coinci- 

 dencia por superposición; igualdad sólo de número de elementos; igualdad 

 proyectiva, etc. Dos figuras congruentes pueden considerarse como dos 

 estados de un movimiento hecho sufrir a una de ellas. Los movimientos 

 son, pues, operaciones, y pueden ser más o menos restringidos. 



19. En todas las transformaciones que vamos a considerar hay un ele- 

 mento o un grupo de elementos que no se transforman y que recibe el nom- 

 bre de invariante de la transformación. En la simetría plana respecto de 

 un eje, es invariante el eje con la serie de sus puntos, y el haz de rayos- 

 paralelos, perpendiculares al eje, en el que está la recta del infinito. En la 

 simetría plana respecto de un centro es invariante la recta del infinito con 

 la serie de sus puntos, y el haz cuyo vértice es el centro de simetría. En 

 todas las traslaciones son invariantes los puntos del infinito, Y en una tras- 

 lación particular de vector Ací, es también invariante el haz de rayos para- 

 lelo de dirección «a. Hay, pues, invariantes de todo un grupo de opera- 

 ciones e invariantes de cada operación particular. 



Nosotros nos vamos a ocupar tan sólo de aquellas operaciones que se 

 refieren a transformaciones, puntuales, biunívocas en el plano, y de és- 

 tas las llamadas conformes por conservar los ángulos, y tienen carácter 

 elemental. 



20. Son transformaciones de esa clase en un plano las traslaciones; 

 movimientos de una figura cuando todos sus puntos recorren segmentos 

 rectilíneos paralelos del mismo sentido e iguales. Los corrimientos o des- 

 lizamientos, movimientos de una figura, cuando sus puntos describen cur- 

 vas planas cualesquiera; los giros o rotaciones, cuando sus puntos descri- 

 ben arcos de círculo de igual graduación, alrededor de un punto, o con- 

 céntricos; los abatimientos alrededor de un e/e, cuando sus puntos descri- 

 ben semicircunferencias cuyo centro esté en el eje y cuyo plano sea per- 

 pendicular a éste. Los abatimientos no axiales, sin consideración a eje, 

 consistentes en levantar el plano, volverlo y dejarlo caer invertido sobre 

 su anterior posición. Tal es el grupo de todos los movimientos del plano. 

 En todo movimiento la última posición de la figura móvil es la transforma- 

 da de la primera posición por el movimiento en cuestión y las únicas que 



