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se consideran, prescindiendo de las posiciones intermedias, que no juegan 

 aquí papel ninguno. Ya veremos que varios de estos movimientos son 

 también productos de dos o más de ellos. 



A su vez son transformaciones de la clase que consideramos: las sime- 

 trías planas respecto de un eje, que coinciden con los abatimientos res- 

 pecto de los mismos ejes; las simetrías planas respecto de un centro, 

 que coinciden con giros de 180 alrededor de los mismos centros; la igual- 

 dad directa, equivalente a una traslación o a un giro, o a ambas cosas; la 

 igualdad inversa, que equivale a un abatimiento sin consideración a eje, 

 o respecto de. un eje; la semejanza directa y la inversa, que comprende 

 a la igualdad directa y a la inversa en el caso de razón uno; la homotecia 

 directa e inversa, resultado de multiplicar una semejanza por un giro, y que 

 comprende a la simetría respecto de un punto, y la inversión respecto de 

 un centro y una potencia de inversión. 



Como se ve, algunas de estas transformaciones son equivalentes a 

 otras o pueden obtenerse por producto de otras. Conviene, por consiguien- 

 te, señalar las estrictamente diferentes y las dependencias entre ellas. 



21 . Para hacer más fácil este análisis designaremos cada transforma- 

 ción y todas sus equivalentes por una letra mayúscula; a ser posible, la ini- 

 cial del nombre de la transformación o de alguna de sus equivalentes. Esta 

 letra llevará otra letra como subíndice que designe el invariante particu- 

 lar propio de la operación; nunca el invariante de todo el grupo, y llevará 

 a veces un exponente que será el signo del elemento numérico caracte- 

 rístico de cada operación: en los giros el valor del ángulo; en las trasla- 

 ciones el módulo del vector, etc. Así: 



Tn = Traslación de dirección y recorrido n. 



Ta'^ = Traslación de dirección a y recorrido a. 



Rc^- = Rotación de ángulo « alrededor del centro C = Giro alrede- 

 dor de C. 



Aq = Abatimiento del plano alrededor del eje ¿z = Simetría plana de eje a. 



He'' = Homotecia de centro C y razón r. 



S'' = Semejanza de razón r. 



Ic* = Inversión de centro C y potencia k. 



Luego veremos que los deslizamientos D equivalen a rotaciones, y 

 los abatimientos A, sin consideración a eje, a traslación y abatimiento res- 

 pecto de eje. Como casos particulares contenidos en ésos están: 



S^ = igualdad directa en el plano = semejanza de razón 1 . 



S-i = igualdad inversa — semejanza de razón — 1 . 



Hc~^ = Rc^ = simetría respecto de un centro C = homotecia de razón 

 — 1,0 rotación de ángulo re. - ■ 



