- 137 - 



22. Con operaciones de éstas se pueden formar grupos finitos y gru- 

 pos infinitos. Entre los primeros puede citarse el grupo trirrectángülo\ 

 es decir, el de los movimientos del plano que dejan invariante una recta 

 £Z y un punto C de ella; tales como el abatimiento Ka alrededor del eje a 

 o simetría respecto de a; el abatimiento o simetría hb respecto de un eje h 

 perpendicular a a, y el giro de 180°, alrededor de C o simetría respecto 

 deC = Hc-i. 



Define este grupo la invariancia del punto C y de la recta a. Contiene 

 evidentemente la operación idéntica 



y es de cuarto orden. Llamando a! y d' los dos semirrayos del eje a, a 

 partir de C, y P' y P" los dos semiplanos en que a divide al plano dado P, 

 se tienen las siguientes propiedades de este grupo fácilmente demostrables: 



1 .° La operación idéntica he? deja invariantes a' y d' y también P' y P". 



2.° La Ka deja invariantes a' y a" y permuta entre sí P' y P"' 



3.° La Kb deja invariantes P' yP" y permuta entre sí d y a". 



4.° La He— ^ permuta entre sí P' y P" y también a' y a". 



El producto de cada dos de estas operaciones es igual a la tercera. Se 

 demuestra fácilmente: sea M un punto; M' su simétrico respecto de a, y 

 Mi M'i los simétricos de M y M' respecto de b. La figura MM' M'i Mi es 

 un rectángulo de centro C, por el cual pasan sus diagonales. Luego M y 

 M'i, así como M' y Mi, son simétricos respecto de C; y por tanto: 



Ka.Kb = Hc-S AoHc-i = Aó y Kb . Hc-^ == Ka- 



Todos los productos de este grupo son permutables; lo que se ve fá- 

 cilmente con la figura. 



Los cuadrados de las tres operaciones son la identidad o iguales a 1 ; 

 este es carácter común a todas las simetrías: 



Ka' = \, Kb' = \, (Hc-i)2 = L 



De donde se sigue que el producto de las tres operaciones es también 

 la identidad; porque de 



1 = Aa2 = Aa X Aa 



y de 



Ka^KbUc-i 

 sale 



í-^KaKbHc-K 



