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También es carácter de las operaciones de este grupo, así como de to- 

 das las simetrías, el ser iguales a sus inversas. Pues de 



Aa2 = l y AaXAa-i = l 



se sigue 



Por todo lo cual no puede haber más que las cuatro operaciones: 1, 

 Aa, Aft y Hc-^ También forman un grupo finito de 4.° orden, todos 

 los giros alrededor de un punto C, de ángulos que sean múltiplos de 

 un recto. Sus operaciones son: Rc^, Rc^ Rc^ y Re* = 1, que como se ve 

 son las potencias sucesivas de una operación de 4,° orden, que vimos for- 

 man un grupo. Entre estas operaciones se verifican las siguientes propie- 

 dades: 



RciXRc2 = Rc3, Rc2XRc3 = RcS Rc^XRc^^l, Rc-l = Rc^ 



Rc-2 = Rc2, Rc-3 = Rci, Reí . Rc2 . Re» = Rc2. 



Asimismo forman un grupo finito de G.** orden los giros alrededor de 

 un punto C de ángulos que sean múltiplos de 60°. Designando con R^ el 

 ángulo de 60°, como la potencia 6.^ de R^ es (R^)*' = 1 las operaciones R^, 

 R2, R3, R4, R5^ R6^ forman un grupo en el cual 



R1.R2 = R3, R2.R3 = R5, R3.R4=.R1, R1.R2.R3=1, R-1=R5^ 

 R-2=:.R4^ R-3 = R3^ etc. 



23. Respecto de los grupos infinitos, consideraremos uno muy restrin- 

 gido e iremos haciendo entrar en él nuevas operaciones que originen nue- 

 vos grupos más amplios cada vez, en los que aquéllos vayan quedando de 

 subgrupos. . 



El más sencillo de todos es el grupo que designaremos G^, de todas 

 las traslaciones. Este grupo tiene un número infinito de operaciones en 

 dos conceptos: en el de que las traslaciones pueden ser en las infinitas di- 

 recciones contenidas en el plano, y en el de que en cada dirección los re- 

 corridos pueden tener todos los valores posibles, expresables por los nú- 

 meros del campo de los números reales. El producto de dos traslaciones 

 es una traslación cuyo vector es la resultante de los vectores de los fac- 

 tores; la operación inversa de una dada T, es la traslación de la misma 

 dirección y magnitud, pero de sentido opuesto; y la operación idéntica 

 es la traslación de recorrido nulo, o la T, T-^ = 1 . 



Como en toda traslación, las rectas de la figura se conservan parale- 

 las a sí mismas, los puntos del infinito no cambian; son los invariantes del 



