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se cortarán en un punto O, y uniendo O con A, A', B y B' se tendrá: 



OA = OA', OB = OB', 



por oblicuas que se apartan igualmente del pie de su perpendicular; y 

 como 



AB = A'B', 



los triángulos AOB y A'OB' y, por tanto, los ángulos AOB y A'OB' son 

 iguales; también lo serán los AOA' y BOB' por suma de los anteriores 

 con el BOA'. Luego es posible llevar de una vez a coincidir la figura ABC 

 con la A'B'C por un giro alrededor de O de un ángulo 



AOA' -: BOB ' = p. 

 Y, por consiguiente, 



Deslizamiento = T« X Ra'« = RqP. 



25. Luego, añadiendo al grupo de las traslaciones el de, las rota' 

 dones del mismo plano, se tiene un grupo, que designaremos por Qg, que 

 es el de todos los deslizamientos, en los que están comprendidas las tras- 

 laciones, las rotaciones y los productos de unas y otras. La operación 

 idéntica existe en este grupo de muchos modos: por rotación de 0° o de 

 360°, por dos traslaciones iguales y opuestas, por dos giros iguales y 

 opuestos del mismo centro, etc. 



Aquí no son siempre invariantes los puntos del infinito; pero sí la recta 

 del infinito. Puesto que en los giros, a un punto del infinito corresponde 

 otro diferente, pero también del infinito. 



Los productos de traslaciones solas y de rotaciones solas alrededor de 

 un centro único son permutables. No lo son ni los productos de traslacio- 

 nes por rotaciones ni los productos de rotaciones alrededor de centros di- 

 ferentes. 



26. Si al grupo Q2 se unen todos los abatimientos alrededor de ejes 

 (que pueden ser todas las rectas del plano), vamos a ver que el nuevo con- 

 junto de operaciones constituye también un grupo, que designaremos por 

 Q3 y que es el grupo de todos los movimientos de las figuras en un 

 plano. 



Ante todo demostraremos que las operaciones de este grupo se redu- 

 cen o a abatimientos respecto de ejes o a productos de dos o tres abati- 

 mientos axiales. 



Consideremos, en primer lugar, dos abatimientos alrededor de dos 

 rectas paralelas a y b. Sea P un punto del plano, P' su simétrico respec- 



