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Luego todo movimiento del tipo Ao D, esto es, todo abatimiento sin 

 sujeción a eje, es el producto de una traslación por un abatimiento 



alrededor de un 

 ^% eje paralelo a la 



traslación. 



31. Estas pro- 

 piedades de los aba- 

 timientos no axiales 

 pueden también ser 

 establecidas directa- 

 mente. Sean ABC y 

 A'B'C, las posicio- 

 nes de una figura 

 antes y después del 

 abatimiento (figu- 

 ra 3.^). Se une A con 

 A' y se hace sufrir a 

 la figura ABC la 

 traslación de vector 

 AA' con lo cual ven- 

 drá a A'BiCi. Los 

 ángulos BjA'B', C'A'Cj, etc., tienen la misma bisectriz, y doblando la 

 figura por esa bisectriz coincidirán A'BjCi Y A'B'C. Luego 



A'B'C' = A'BiCj X Afl y A'BiCi = ABC X Taa'. 



De donde 



A'B'C = ABC X Taa' X ha- 



Si se hubiera trasladado A'B'C hasta coincidir A' con A, se hubiera 

 podido producir primero el abatimiento Aa- y luego la traslación, esto es 



A'B'C = ABC X ka' X Taa', 



en que a' |1 ¿z. 



Trazando sobre AA' como hipotenusa un triángulo rectángulo de cate- 

 tos, uno AAg paralelo y otro A'Ag perpendicular al eje a, y trazando la 

 paralela a' a <2 por el punto medio de A'Ag o de AA', la traslación AAg y 

 el abatimiento alrededor de a! || AAg llevan ABC a coincidir con A'B'C. 



El producto, pues, de traslaciones, rotaciones, deslizamientos y aba- 

 timientos axiales o no axiales, es equivalente a una de esas operaciones; 

 esto es, el producto de dos movimientos cualesquiera del plano es un mo- 



