— 145 — 



vimiento del mismo, y como contiene la operación idéntica bajo multitud 

 de formas, dichas operaciones forman un grupo bien caracterizado. El gru- 

 po de todos los movimientos del plano o G3, en el cual es invariante^ 

 como en el anterior, la recta del infinito. 



32. Grupo de las semejanzas o fundamental. — Si al grupo Q3 se 

 añaden todas las transformaciones consistentes en homotecias o en seme- 

 janzas, como los movimientos transforman las figuras en figuras iguales, 

 y la igualdad está contenida en la semejanza, bajo la razón 1 , y la homo- 

 tecia es semejanza, todas estas transformaciones podrán considerarse bajo 

 la denominación común de semejanzas, y vamos a ver que constituyen 

 un grupo que designaremos por G4. En él están contenidos, como sub- 

 grupos, las semejanzas directas, las inversas, los giros, las traslaciones, 

 los abatimientos, etc. Existe en este grupo la operación idéntica, no sólo 

 porque ya la trae el grupo G3, bajo diversas formas, sino porque es iden- 

 tidad, la homotecia de razón 1; el producto de dos homotecias de razones 

 inversas, y del mismo signo, respecto de un mismo centro, 



1 

 Hc'-XHc'^=l; 



y como el producto de una semejanza por una rotación vamos a ver que 

 es una homotecia, bastará multiplicar este producto por la homotecia in- 

 versa para tener también la identidad. 



El producto de dos operaciones de este grupo es una operación del 

 mismo grupo. Bastará probarlo para los diferentes casos siguientes: 



1.° El producto de dos homotecias de razones hy k respecto de un 

 mismo centro O, es otra homotecia respecto del mismo centro, cuya razón 

 es hxk. 



Sea A un punto; A' suhomotético en la 1.^ homotecia; A" el homoté- 

 tico de A' en la 2.^; se tendrá 



OA , OA' 



de donde 



o sea 



O A' " OA" 



OA' ^ OA" - ^ ^ '^' 



^^r = hXk 



O lo que es lo mismo: 



OA 



Ho'i X Ho* = Ho^é. 



