- 146 - 



2° El producto de dos homotecias de razones h y k respecto de dos 

 centros distintos O y O', es otra homotecia respecto de un centro O" ali- 

 neado con O y O' y cuya razón de homotecia es h . k. 



Sean AB, AC... segmentos; A'B', A'C... sus homotéticos en la 1,^ ho- 

 motecia; A"B", A"C"... los homotéticos de A'B', A'C... en la 2.^; se 

 tendrá: 



AB 



De donde 



o sea 



AB II A'B'; 

 A'B' II A'B". 





A"B 



AB II A"B". 



Luego las rectas que unen los extremos BB", CC" cortan todas a la AA" 

 en un mismo punto O"; y O, O', O" están alineados porque están sobre 

 los lados del triángulo AA'A" y satisfacen a la relación de Meneiao. 

 Luego 



HoA X Ho'* = Ho"/^*. 



3.° Toda semejanza directa puede expresarse por el producto 

 de una rotación por una homotecia y recíprocamente. 



Sea ABC un triángulo, A'B'C su directamente semejante bajo razón r, 

 situado de cualquier manera en el plano. Sea M el punto de intersección 

 de AB y A'B'. Las circunferencias MAA', y MBB' se cortan, en general, 

 en otro punto O. Los triángulos OAB y O A'B' son semejantes porque los 

 ángulos MAO y MA'O, MBO y MB'O son, respectivamente, iguales, por 

 inscritos en el mismo arco. Luego los ángulos AOB y A'OB' son iguales. 

 También lo son los AOA' y BOB', sumas de los anteriores con el BOA' 

 considerado positiva o negativamente. Haciendo girar la figura ABC al- 

 rededor de O el ángulo 



AOA' = a, 



se tendrá otra AjBiCi que será homotética con la A'B'C. Luego 



A'B'C = AiBiCi X Ho'-, 

 y como 



AiBiC, = ABC . Ro«, 



