— 147 — 



se tendrá 



A'B'C = ABC . Ro« . Ho'-. 



Lo recíproco es evidente. Por tanto, 



Sr = Ro« . Ho'- y Ro« . Ho'- = Sr 



4.° Toda semejanza inversa es equivalente al producto de una rota- 

 ción- por una homotecia y por un abatimiento. En efecto, produciendo en 

 la figura A'B'C, semejante inversa de la ABC, un abatimiento alrededor 

 de un eje a se obtendrá otra figura A2B2C2; y se tendrá: 



A'B'C = A2B2C2 X Aa. 



Y como A2B2C2 es ya semejante directa con ABC, según el caso anterior 

 será: 



A2B2C2 = ABC . Ro^^ . Ho'-, 



y sustituyendo este valor en la anterior sale: 



A'B'C = ABC X Ro'' X Ho'- X ha 

 o, lo que es lo mismo, 



S-r = Ro«XHo'-XAa. 



Con lo cual queda establecido que todas las operaciones de este grupo son 

 del tipo S o del SAa y constituyen el contenido de la Geometría Métrica, 

 por lo cual se denomina grupo fundamental. 



Todavía es invariante de este grupo la recta del infinito, aunque no 

 sus puntos. Puesto que a puntos del infinito, en toda semejanza, corres- 

 ponden puntos en el infinito en general distintos de los primeros. Y en 

 éste, y los grupos anteriores, esta invariancia de la recta del infinito va 

 implícitamente unida a la invariación de los ángulos; equivaliéndose ambos 

 conceptos. 



33. Grupo Conforme. — Añadiendo al grupo Q4 de las semejanzas 

 todas las transformaciones del tipo lo del SI, esto es, todas las inversio- 

 nes y los productos de semejanzas por inversiones, se constituye el grupo 

 más amplio de las transformaciones elementales sobre el plano, caracteri- 

 zado por la conservación de los ángulos, el cual designaremos por Q5. 

 La identidad entra en este grupo bajo todas las formas de los grupos an- 

 teriores y bajo la forma F. 



Para sentar que los productos de operaciones del grupo equivalen a 

 operaciones del mismo presentaremos los teoremas siguientes. 



34. Toda transformación del tipo \ka se puede expresar por otra del 



• 



