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tipo Aal, arrastrando eti el abatimiento el centro de inversión; esto es, el 

 producto de inversión por abatimiento es permutable siempre que las in- 

 versiones se consideren referidas a centros simétricos respecto del eje del 

 abatimiento. Así, si Ao transforma el punto C en C es evidente 



Ic«. Ao = AaXIc'«. 



. De esta proposición se sigue que toda transformación del tipo IQ3 se 

 puede'también referir al tipo G3I, puesto que ya demostramos que toda 

 traslación, rotación o deslizamiento, que son las operaciones del tipo G3, 

 eran siempre expresables por uno o más abatimientos axiales. 



35. Toda transformación del tipo I • H se puede expresar por una del 

 tipo I o por una del Q3I. En efecto: si el centro de homotecia C coincide 

 con el de inversión y son h y p \a razón de homotecia y la potencia de la 

 inversión; A, un punto. A' su inverso y A" el homotético de A', será: 



OA.OA'=/7 

 y por tanto 



OA' h ' 



OA . OA' . -S^ = OA . OA " = -4- 

 OA' n 



o, lo que es lo mismo, 



I?XHJ = IcA 



Si la homotecia tiene un centro O distinto del C de la inversión, se le 

 puede reemplazar por otra homotecia H^c de igual razón, que tenga su 

 centro en el C de la inversión seguida de una traslación Tco de vector 

 CO. Luego 



I^XHj = I?XH?XTco. 



y como IcP X Hc^ equivale a una simple inversión, según acabamos de 

 ver, y Tco es un movimiento contenido en el grupo Gg, aplicando la con- 

 secuencia del número 34 quedará demostrado que 



I^ X H J = I^ X H J X Tco = Ic'A Tco = Tcolc A . 



36. El producto de dos inversiones Ia" X Ib^ de centros diferen- 

 tes puede ser expresado por un abatimiento seguido de una inver' 

 sión. —Sea M un punto cualquiera del plano (fig. 4.^), N su transformado 

 por Ia"'; y P el transformado de N por Ib^; se tendrá: 



AM , AN = a, BN . BP = 6, 



