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Tracemos el círculo circunscrito al triángulo MNP y sea Q el segundo 

 encuentro de este círculo con la recta paralela a AB, trazada por M, y tra- 

 cemos también QP, la cual encontrará a AB en un punto que llamaremos 

 C. Designemos por y el producto CP X CQ. La perpendicular d en el 

 punto medio S 

 de la cuerda 

 MQ pasa, evi- 

 dentemente, 

 por el centro 

 O del círculo 

 circunscrito a 

 MNP; y si de- 

 signamos por 

 r el radio de 

 este círculo, 

 las potencias 

 de las dos in- 

 versiones son, 

 evidentemen - 

 te, las de sus 

 centros A y B 



respecto de dicho círculo; puesto que contiene dos puntos inversos M y 

 N de la primera inversión, y dos puntos inversos N y P de la segunda; 

 por tanto 



0A2 — r2 = a V 0B2 — r^ = g; 



de donde 



0A2 — 0B2 = {a 



Para otros tres puntos M', N' y P', análogamente obtenidos, se ten- 

 dría to mismo, etc.; luego los puntos O son los del lugar de los puntos 

 cuya diferencia de cuadrados de sus distancias a A y a B es constante e 

 igual (a — 6). La recta d pasa, pues, por un punto fijo I de AB, perpen- 

 dicularmente a ésta, y es, por lo mismo, independiente de los puntos M, 

 N y P que se hayan elegido para hacer la construcción. 



Por otra parte, siendo AC paralela a MQ, el ángulo 



Ni^ = QMN. 



por alternos internos, y el 



QMN = CPN, 



